미적분 예제

$f (x) = x + \cos (2 x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x + \cos (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

단계 1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

단계 1.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - \sin (2 x) \cdot 2$

단계 1.2.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 - 2 \sin (2 x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $1 - 2 \sin (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

단계 2.1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \sin (2 x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

단계 2.2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.2.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

단계 2.2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

단계 2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

단계 2.2.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

단계 2.2.6

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

단계 2.2.7

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

단계 2.3

$0$ 에서 $4 \cos (2 x)$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$1 - 2 \sin (2 x) = 0$

단계 4

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- 2 \sin (2 x) = - 1$

단계 5

$- 2 \sin (2 x) = - 1$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 2 \sin (2 x) = - 1$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

단계 5.2.1.2

$\sin (2 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

단계 6

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

단계 7

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{6}$ 입니다.

$2 x = \frac{π}{6}$

단계 8

$2 x = \frac{π}{6}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$2 x = \frac{π}{6}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

단계 8.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

단계 8.3.2

$\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$\frac{π}{6}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

단계 8.3.2.2

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{12}$

단계 9

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

단계 10

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 10.1.2

$π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 10.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

단계 10.1.4

$π \cdot 6$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.4.1

$π$ 와 $6$ 을 다시 정렬합니다.

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

단계 10.1.4.2

$6 \cdot π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

단계 10.2

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

단계 10.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

단계 10.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

단계 10.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

단계 10.2.3.2

$\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.2.1

$\frac{5 π}{6}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

단계 10.2.3.2.2

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{5 π}{12}$

단계 11

방정식 $2 x = \frac{π}{6}$ 의 해.

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

단계 12

$x = \frac{π}{12}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 4 \cos (2 (\frac{π}{12}))$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

단계 13.1.2

공약수로 약분합니다.

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

단계 13.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 4 \cos (\frac{π}{6})$

단계 13.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 13.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 13.3.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 13.3.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 \sqrt{3}$

단계 14

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{π}{12}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{π}{12}$ 은 극대값입니다

단계 15

$x = \frac{π}{12}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{12}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{12}) = (\frac{π}{12}) + \cos (2 (\frac{π}{12}))$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 (6)}))$

단계 15.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}))$

단계 15.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (\frac{π}{6})$

단계 15.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 15.2.2

최종 답은 $\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$y = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 16

$x = \frac{5 π}{12}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 4 \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

단계 17

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (6)})$

단계 17.1.2

공약수로 약분합니다.

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 6})$

단계 17.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 4 \cos (\frac{5 π}{6})$

단계 17.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- 4 (- \cos (\frac{π}{6}))$

단계 17.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 17.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

단계 17.4.2

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

단계 17.4.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

단계 17.4.4

수식을 다시 씁니다.

$- 2 (- \sqrt{3})$

단계 17.5

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 \sqrt{3}$

단계 18

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{5 π}{12}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{5 π}{12}$ 은 극소값입니다.

단계 19

$x = \frac{5 π}{12}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{5 π}{12}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{5 π}{12}) = (\frac{5 π}{12}) + \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

단계 19.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1.1.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)}))$

단계 19.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}))$

단계 19.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (\frac{5 π}{6})$

단계 19.2.1.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \cos (\frac{π}{6})$

단계 19.2.1.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 19.2.2

최종 답은 $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$y = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 20

$f (x) = x + \cos (2 x)$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{π}{12}, \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ 은 극댓값임

$(\frac{5 π}{12}, \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ 은 극솟값임

단계 21