미적분 예제

$f (x) = \ln (4 - \ln (x))$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 4 - \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 - \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

단계 1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $4 - \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 - \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

단계 1.2.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

단계 1.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

단계 1.2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 1.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{1}{x})$

단계 1.4

$\frac{1}{4 - \ln (x)}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{(4 - \ln (x)) x}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{4 x - \ln (x) x}$

단계 1.5.2

$4 x - \ln (x) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.5.2.1

$4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{x \cdot 4 - \ln (x) x}$

단계 1.5.2.2

$- \ln (x) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{x \cdot 4 + x (- \ln (x))}$

단계 1.5.2.3

$x \cdot 4 + x (- \ln (x))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x (4 - \ln (x))} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.2

$\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ 을 ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x (4 - \ln (x)))}^{- 1} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x (4 - \ln (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x (4 - \ln (x))$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $x (4 - \ln (x))$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (- {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.4

곱합니다.

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단계 2.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 1 ({(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.4.2

${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.5

$f (x) = x$ , $g (x) = 4 - \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (4 - \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.6

미분합니다.

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단계 2.6.1

합의 법칙에 의해 $4 - \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.6.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.6.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 에 더합니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (- \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.6.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{d}{d x} \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.7

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{1}{x}) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.8

미분합니다.

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단계 2.8.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.8.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 2.8.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.8.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 \cdot 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.8.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.8.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \cdot 1) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.8.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.4.1

$4 - \ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + 4 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.8.4.2

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.8.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot 0$

단계 2.8.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.6.1

$\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + 0$

단계 2.8.6.2

${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$

단계 2.9

간단히 합니다.

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단계 2.9.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{1}{{(x (4 - \ln (x)))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

단계 2.9.2

$x (4 - \ln (x))$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

단계 2.9.3

$\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} (3 - \ln (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = (3 - \ln (x)) (\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}})$

단계 2.9.4

$3 - \ln (x)$ 에 $\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{3 - \ln (x)}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))} = 0$

단계 4

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 5

극값 없음

단계 6