미적분 예제

$f (x) = x {(2 x - 5)}^{3}$

단계 1

$f (x) = x$ , $g (x) = {(2 x - 5)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{3}] + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 2 x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x - 5$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $2 x - 5$ 로 바꿉니다.

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $2 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.5

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 + 0)) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} \cdot 2) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.6.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3} \cdot 1$

단계 3.8

${(2 x - 5)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3}$ 에서 ${(2 x - 5)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.1

$x (6 {(2 x - 5)}^{2})$ 에서 ${(2 x - 5)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{3}$

단계 4.1.2

${(2 x - 5)}^{3}$ 에서 ${(2 x - 5)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{2} (2 x - 5)$

단계 4.1.3

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{2} (2 x - 5)$ 에서 ${(2 x - 5)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6) + 2 x - 5)$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$x$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

${(2 x - 5)}^{2} (6 \cdot x + 2 x - 5)$

단계 4.2.2

$6 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

${(2 x - 5)}^{2} (8 x - 5)$

단계 4.3

${(2 x - 5)}^{2}$ 을 $(2 x - 5) (2 x - 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$(2 x - 5) (2 x - 5) (8 x - 5)$

단계 4.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x - 5) (2 x - 5)$ 를 전개합니다.

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단계 4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)) (8 x - 5)$

단계 4.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)) (8 x - 5)$

단계 4.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

단계 4.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

단계 4.5.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

단계 4.5.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

단계 4.5.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

단계 4.5.1.4

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

단계 4.5.1.5

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

단계 4.5.1.6

$- 5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25) (8 x - 5)$

단계 4.5.2

$- 10 x$ 에서 $10 x$ 을 뺍니다.

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (8 x - 5)$

단계 4.6

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(4 x^{2} - 20 x + 25) (8 x - 5)$ 를 전개합니다.

$4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

단계 4.7

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

단계 4.7.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.7.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

단계 4.7.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.7.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

단계 4.7.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

단계 4.7.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

단계 4.7.3

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

단계 4.7.4

$- 5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

단계 4.7.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 x \cdot x - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

단계 4.7.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.7.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 (x \cdot x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

단계 4.7.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 x^{2} - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

단계 4.7.7

$- 20$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

단계 4.7.8

$- 5$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

단계 4.7.9

$8$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 200 x + 25 \cdot - 5$

단계 4.7.10

$25$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 200 x - 125$

단계 4.8

$- 20 x^{2}$ 에서 $160 x^{2}$ 을 뺍니다.

$32 x^{3} - 180 x^{2} + 100 x + 200 x - 125$

단계 4.9

$100 x$ 를 $200 x$ 에 더합니다.

$32 x^{3} - 180 x^{2} + 300 x - 125$