미적분 예제

$f (x) = x {(x - 15)}^{2}$

단계 1

${(x - 15)}^{2}$ 을 $(x - 15) (x - 15)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x ((x - 15) (x - 15))]$

단계 2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 15) (x - 15)$ 를 전개합니다.

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단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 15) - 15 (x - 15))]$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 15 - 15 (x - 15))]$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 15 - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

단계 3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 15 - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

단계 3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 15$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 15 \cdot x - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

단계 3.1.3

$- 15$ 에 $- 15$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 15 x - 15 x + 225)]$

단계 3.2

$- 15 x$ 에서 $15 x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 30 x + 225)]$

단계 4

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} - 30 x + 225$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 30 x + 225] + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 30 x + 225$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]$ 가 됩니다.

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.3

$- 30$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 30 x$ 의 미분은 $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (2 x - 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (2 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.5

$- 30$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (2 x - 30 + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.6

$225$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $225$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $225$ 입니다.

$x (2 x - 30 + 0) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.7

$2 x - 30$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x (2 x - 30) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (2 x - 30) + (x^{2} - 30 x + 225) \cdot 1$

단계 5.9

$x^{2} - 30 x + 225$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (2 x - 30) + x^{2} - 30 x + 225$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x (2 x) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

단계 6.2

항을 묶습니다.

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단계 6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

단계 6.2.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

단계 6.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

단계 6.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 x^{2} + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

단계 6.2.5

$x$ 의 왼쪽으로 $- 30$ 이동하기

$2 x^{2} - 30 \cdot x + x^{2} - 30 x + 225$

단계 6.2.6

$2 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 30 x - 30 x + 225$

단계 6.2.7

$- 30 x$ 에서 $30 x$ 을 뺍니다.

$3 x^{2} - 60 x + 225$