미적분 예제

$f (x) = \sin (\frac{z - 7}{z + 7})$

단계 1

$f (z) = \sin (z)$ , $g (z) = \frac{z - 7}{z + 7}$ 일 때 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 는 $f' (g (z)) g' (z)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{z - 7}{z + 7}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

단계 1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{z - 7}{z + 7}$ 로 바꿉니다.

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

단계 2

$f (z) = z - 7$ , $g (z) = z + 7$ 일 때 $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ 는 $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) \frac{d}{d z} [z - 7] - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $z - 7$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 7]$ 가 됩니다.

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 7]) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (1 + \frac{d}{d z} [- 7]) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 3.3

$- 7$ 이 $z$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (1 + 0) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) \cdot 1 - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 3.4.2

$z + 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 3.5

합의 법칙에 의해 $z + 7$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [7]$ 가 됩니다.

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [7])}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (1 + \frac{d}{d z} [7])}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 3.7

$7$ 이 $z$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (1 + 0)}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 3.8

분수를 통분합니다.

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단계 3.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) \cdot 1}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 3.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 3.8.3

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7})$ 와 $\frac{z + 7 - (z - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (z + 7 - (z - 7))}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (z + 7 - z - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 4.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$z + 7 - z - - 7$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.2.1.1

$z$ 에서 $z$ 을 뺍니다.

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (0 + 7 - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 4.2.1.2

$0$ 를 $7$ 에 더합니다.

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (7 - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 4.2.2

$- 1$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (7 + 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 4.2.3

$7$ 를 $7$ 에 더합니다.

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \cdot 14}{{(z + 7)}^{2}}$

단계 4.2.4

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7})$ 의 왼쪽으로 $14$ 이동하기

$\frac{14 \cos (\frac{z - 7}{z + 7})}{{(z + 7)}^{2}}$