미적분 예제

$f (x) = \ln (\tan (5 x + 1))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \tan (5 x + 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\tan (5 x + 1)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\tan (5 x + 1)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\tan (5 x + 1)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

단계 2

$\tan (5 x + 1)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1}{\frac{\sin (5 x + 1)}{\cos (5 x + 1)}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

단계 3

$\frac{\sin (5 x + 1)}{\cos (5 x + 1)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{\cos (5 x + 1)}{\sin (5 x + 1)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

단계 4

$\frac{\cos (5 x + 1)}{\sin (5 x + 1)}$ 을 $\cot (5 x + 1)$ 로 변환합니다.

$\cot (5 x + 1) \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

단계 5

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 5 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\cot (5 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 5.2

$\tan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{2})$ 입니다.

$\cot (5 x + 1) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\cot (5 x + 1) (\sec^{2} (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

합의 법칙에 의해 $5 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 6.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 6.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 6.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 + 0)$

단계 6.6

식을 간단히 합니다.

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단계 6.6.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) \cdot 5$

단계 6.6.2

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$5 \cdot (\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1))$

단계 6.6.3

$5 \cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$5 \sec^{2} (5 x + 1) \cot (5 x + 1)$