미적분 예제

$f (x) = \sin (2 x) \cos (3 x)$

단계 1

$f (x) = \sin (2 x)$ , $g (x) = \cos (3 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\sin (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 2.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$\sin (2 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\sin (2 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\sin (2 x) (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 3.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x) \cdot 1) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 3.4

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

단계 4

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 4.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

단계 5.3

식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cos (2 x) \cdot 2$

단계 5.3.2

$\cos (3 x) \cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + 2 \cdot (\cos (3 x) \cos (2 x))$

단계 5.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 3 \sin (2 x) \sin (3 x) + 2 \cos (2 x) \cos (3 x)$