미적분 예제

$f (x) = \tan (x) \cdot (\sin (x) + \cos (x))$

단계 1

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $\sin (x) + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\tan (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\tan (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 5

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\tan (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sec^{2} (x)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sec^{2} (x)$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x)$

단계 6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\cos (x) \tan (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 6.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

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단계 6.4.1.1

$\cos (x)$ 와 $\tan (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\tan (x) \cos (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 6.4.1.2

$\cos (x) \tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 6.4.1.3

공약수로 약분합니다.

$\sin (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 6.4.2

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\sin (x) - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 6.4.3

$- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.3.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$\sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 6.4.3.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 6.4.3.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 6.4.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\sin (x) - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 6.4.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 6.4.4

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 6.4.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 6.4.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 6.4.7

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

단계 6.4.8

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

단계 6.4.9

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

단계 6.4.10

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.10.1

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

단계 6.4.10.2

공약수로 약분합니다.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

단계 6.4.10.3

수식을 다시 씁니다.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)}$

단계 6.4.11

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

단계 6.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sin (x) + \frac{- \sin^{2} (x) + 1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 6.6

$- \sin^{2} (x)$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (x) + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 6.7

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 6.8

$\cos^{2} (x)$ 및 $\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.8.1

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 6.8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.8.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 6.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 6.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 6.8.2.4

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 6.9

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.9.1

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

단계 6.9.2

분수를 나눕니다.

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 6.9.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

단계 6.9.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$\sin (x) + \cos (x) + \sec (x) \tan (x)$