미적분 예제

$f (x) = \cos (x) - \frac{3}{x^{3}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\cos (x) - \frac{3}{x^{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$

단계 2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{x^{3}}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$- \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

단계 3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

단계 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$- \sin (x) - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (x) - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$- \sin (x) - 3 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (x) - 3 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

단계 3.5

${(x^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \sin (x) - 3 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

단계 3.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \sin (x) - 3 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

단계 3.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

단계 3.7

지수를 더하여 $x^{- 6}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.7.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- \sin (x) - 3 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

단계 3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{2 - 6})$

단계 3.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{- 4})$

단계 3.8

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- \sin (x) + 9 x^{- 4}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \sin (x) + 9 \frac{1}{x^{4}}$

단계 4.2

$9$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$- \sin (x) + \frac{9}{x^{4}}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{9}{x^{4}} - \sin (x)$