미적분 예제

$f (x) = \arctan (\frac{x + a}{b})$

단계 1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{x + a}{b}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x + a}{b}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

단계 1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x + a}{b}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{b}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x + a}{b}$ 의 미분은 $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} (\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a])$

단계 2.2

$\frac{1}{b}$ 에 $\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \frac{d}{d x} [x + a]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $x + a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a])$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + \frac{d}{d x} [a])$

단계 2.5

$a$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a$ 입니다.

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + 0)$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \cdot 1$

단계 2.6.2

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{x + a}{b}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{b (1 + \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}})}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{b \cdot 1 + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

단계 3.3

항을 묶습니다.

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단계 3.3.1

$b$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{b + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

단계 3.3.2

$b$ 와 $\frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

단계 3.3.3

$b$ 및 $b^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.3.1

$b {(x + a)}^{2}$ 에서 $b$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b^{2}}}$

단계 3.3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.3.2.1

$b^{2}$ 에서 $b$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b \cdot b}}$

단계 3.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b \cdot b}}$

단계 3.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{b + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

단계 3.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $b$ 을 표현하기 위해 $\frac{b}{b}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\frac{b \cdot b}{b} + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

단계 3.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{b \cdot b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

단계 3.3.6

$b$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{\frac{b^{1} b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

단계 3.3.7

$b$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{\frac{b^{1} b^{1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

단계 3.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{\frac{b^{1 + 1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

단계 3.3.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

단계 3.3.10

$\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$

단계 3.3.11

$\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$