미적분 예제

$f (x) = \ln (5 x^{2} - 4 x + 1)$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 5 x^{2} - 4 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x^{2} - 4 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x + 1]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x + 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $5 x^{2} - 4 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x + 1]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} - 4 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.4

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.5

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.7

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.8

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 + 0)$

단계 2.9

$10 x - 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(10 x - 4) \frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

단계 3.2

$10 x - 4$ 에 $\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{10 x - 4}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

단계 3.3

$10 x - 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.3.1

$10 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 x) - 4}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

단계 3.3.2

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 x) + 2 (- 2)}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

단계 3.3.3

$2 (5 x) + 2 (- 2)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (5 x - 2)}{5 x^{2} - 4 x + 1}$