미적분 예제

$g (t) = \frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (t) = t$ , $g (t) = 3 - t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 - t) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $3 - t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t]$ 가 됩니다.

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

단계 2.4

$3$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

단계 2.5

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

단계 2.7

$3 - t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 - t - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

단계 2.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 - t - t (0 - 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

단계 2.9

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{3 - t - t \cdot - 1}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

단계 2.10

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 - t + 1 t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

단계 2.11

$t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 - t + t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

단계 2.12

$- t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$\frac{3 + 0}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

단계 2.13

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

단계 3

$\frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$5$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $5 t^{3}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 입니다.

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 (3 t^{2})$

단계 3.3

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 15 t^{2}$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$15 t^{2} + \frac{3}{{(3 - t)}^{2}}$