미적분 예제

$g (x) = (2 - x) \tan^{2} (x)$

단계 1

$f (x) = 2 - x$ , $g (x) = \tan^{2} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(2 - x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$(2 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(2 - x) (2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$(2 - x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 3

$2 - x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot (2 - x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 4

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $2 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 5.2

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 5.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [- x]$

단계 5.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) (- 1 \cdot 1)$

단계 5.6

식을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \cdot - 1$

단계 5.6.2

$\tan^{2} (x)$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) - 1 \cdot \tan^{2} (x)$

단계 5.6.3

$- 1 \tan^{2} (x)$ 을 $- \tan^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (2 - x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 \cdot 2 + 2 (- x)) \tan (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 \cdot 2 \tan (x) + 2 (- x) \tan (x)) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cdot 2 \tan (x) \sec^{2} (x) + 2 (- x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

단계 6.4

항을 묶습니다.

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단계 6.4.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) + 2 (- x) \tan (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

단계 6.4.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) - 2 x \tan (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

단계 6.5

항을 다시 정렬합니다.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)$