미적분 예제

$g (x) = {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} \ln (x)$

단계 1

$f (x) = {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}]$

단계 2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}]$

단계 3

${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}]$

단계 4

$f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ , $g (x) = 33 x + 31$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $33 x + 31$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

단계 4.2

$n = \frac{4}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $33 x + 31$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

단계 8.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

단계 9

분수를 통분합니다.

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단계 9.1

$\frac{4}{3}$ 와 ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

단계 9.2

$\frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} \frac{d}{d x} [33 x + 31]$

단계 10

합의 법칙에 의해 $33 x + 31$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [31]$ 가 됩니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (\frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [31])$

단계 11

$33$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $33 x$ 의 미분은 $33 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [31])$

단계 12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [31])$

단계 13

$33$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 + \frac{d}{d x} [31])$

단계 14

$31$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $31$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $31$ 입니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 + 0)$

단계 15

항을 간단히 합니다.

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단계 15.1

$33$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} \cdot 33$

단계 15.2

$\frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3}$ 와 $33$ 을 묶습니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) \cdot 33}{3}$

단계 15.3

$33$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{132 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3}$

단계 15.4

$132 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{3 (44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x))}{3}$

단계 16

공약수로 약분합니다.

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단계 16.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{3 (44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x))}{3 (1)}$

단계 16.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{3 (44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x))}{3 \cdot 1}$

단계 16.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{1}$

단계 16.4

$44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$

단계 17

공통 분모를 가지는 분수로 $44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) x}{x}$

단계 18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) x}{x}$

단계 19

분자를 간단히 합니다.

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단계 19.1

${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) x$ 에서 ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 19.1.1

수식을 다시 정렬합니다.

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단계 19.1.1.1

$\ln (x)$ 를 옮깁니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} x \ln (x)}{x}$

단계 19.1.1.2

${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 x {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{x}$

단계 19.1.2

${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}$ 에서 ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} {(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + 44 x {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{x}$

단계 19.1.3

$44 x {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ 에서 ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} {(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (44 x \ln (x))}{x}$

단계 19.1.4

${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} {(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (44 x \ln (x))$ 에서 ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} ({(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + 44 x \ln (x))}{x}$

단계 19.2

$3$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} ({(33 x + 31)}^{1} + 44 x \ln (x))}{x}$

단계 19.3

간단히 합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (33 x + 31 + 44 x \ln (x))}{x}$

단계 19.4

$44$ 를 로그 안으로 옮겨 $44 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (33 x + 31 + x \ln (x^{44}))}{x}$