미적분 예제

$G (x) = 9 x^{5} (x^{4} - 9)$

단계 1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{5} (x^{4} - 9)$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{5} (x^{4} - 9)]$ 입니다.

$9 \frac{d}{d x} [x^{5} (x^{4} - 9)]$

단계 2

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = x^{4} - 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 (x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4} - 9] + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$9 (x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 (x^{5} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 3.3

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$9 (x^{5} (4 x^{3} + 0) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 3.4

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 (x^{5} (4 x^{3}) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 4

지수를 더하여 $x^{5}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$9 (x^{3} x^{5} \cdot 4 + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$9 (x^{3 + 5} \cdot 4 + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 4.3

$3$ 를 $5$ 에 더합니다.

$9 (x^{8} \cdot 4 + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 5

$x^{8}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$9 (4 \cdot x^{8} + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 6

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 (4 x^{8} + (x^{4} - 9) (5 x^{4}))$

단계 7

$x^{4} - 9$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$9 (4 x^{8} + 5 \cdot (x^{4} - 9) x^{4})$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$9 (4 x^{8} + (5 x^{4} + 5 \cdot - 9) x^{4})$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$9 (4 x^{8} + 5 x^{4} x^{4} + 5 \cdot - 9 x^{4})$

단계 8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$9 (4 x^{8}) + 9 (5 x^{4} x^{4}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

단계 8.4

항을 묶습니다.

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단계 8.4.1

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$36 x^{8} + 9 (5 x^{4} x^{4}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

단계 8.4.2

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.2.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$36 x^{8} + 9 (5 (x^{4} x^{4})) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

단계 8.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$36 x^{8} + 9 (5 x^{4 + 4}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

단계 8.4.2.3

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$36 x^{8} + 9 (5 x^{8}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

단계 8.4.3

$5$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$36 x^{8} + 45 x^{8} + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

단계 8.4.4

$5$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$36 x^{8} + 45 x^{8} + 9 (- 45 x^{4})$

단계 8.4.5

$- 45$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$36 x^{8} + 45 x^{8} - 405 x^{4}$

단계 8.4.6

$36 x^{8}$ 를 $45 x^{8}$ 에 더합니다.

$81 x^{8} - 405 x^{4}$