미적분 예제

$f (x) = - 3 \cos (5 x^{3} + 7 x)$

단계 1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 \cos (5 x^{3} + 7 x)$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (5 x^{3} + 7 x)]$ 입니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (5 x^{3} + 7 x)]$

단계 2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 5 x^{3} + 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x^{3} + 7 x$ 로 바꿉니다.

$- 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 7 x])$

단계 2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 7 x])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $5 x^{3} + 7 x$ 로 바꿉니다.

$- 3 (- \sin (5 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 7 x])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$3 (\sin (5 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 7 x])$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $5 x^{3} + 7 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ 가 됩니다.

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 3.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{3}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 3.5

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 3.6

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (15 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (15 x^{2} + 7 \cdot 1)$

단계 3.8

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (15 x^{2} + 7)$