미적분 예제

$f (x) = 4 \sin^{5} (\sqrt{x})$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [4 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})]$

단계 1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = \sin (x^{\frac{1}{2}})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

단계 2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ 로 바꿉니다.

$4 (5 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

단계 3

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$20 (\sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

단계 4

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 5

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 9

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 11

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $20$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20}{2} \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$

단계 13

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20}{2}$ 와 $\sin^{4} (x^{\frac{1}{2}})$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \cos (x^{\frac{1}{2}})$

단계 14

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ 와 $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

단계 15

식을 간단히 합니다.

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단계 15.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $20$ 이동하기

$\frac{20 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

단계 15.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 16

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17

공약수로 약분합니다.

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단계 17.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

단계 17.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$