미적분 예제

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{4 x^{6}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $4 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{4 x^{6}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

단계 2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

단계 2.3

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

단계 2.5

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

단계 2.7.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

단계 2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

단계 2.9

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

단계 2.10

$4$ 와 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

단계 2.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- \frac{3}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{4 x^{6}}$ 의 미분은 $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ 입니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

단계 3.2

$\frac{1}{x^{6}}$ 을 ${(x^{6})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

단계 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{6}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{6}$ 로 바꿉니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

단계 3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{6}$ 로 바꿉니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

단계 3.4

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

단계 3.5

${(x^{6})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

단계 3.5.2

$6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

단계 3.6

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

단계 3.7

지수를 더하여 $x^{- 12}$ 에 $x^{5}$ 을 곱합니다.

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단계 3.7.1

$x^{5}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

단계 3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{5 - 12})$

단계 3.7.3

$5$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{- 7})$

단계 3.8

$- 6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 6 (\frac{3}{4}) x^{- 7}$

단계 3.9

$6$ 와 $\frac{3}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{6 \cdot 3}{4} x^{- 7}$

단계 3.10

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18}{4} x^{- 7}$

단계 3.11

$\frac{18}{4}$ 와 $x^{- 7}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18 x^{- 7}}{4}$

단계 3.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 7}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18}{4 x^{7}}$

단계 3.13

$18$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.13.1

$18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (9)}{4 x^{7}}$

단계 3.13.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.13.2.1

$4 x^{7}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (9)}{2 (2 x^{7})}$

단계 3.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \cdot 9}{2 (2 x^{7})}$

단계 3.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{9}{2 x^{7}}$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{9}{2 x^{7}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$