미적분 예제

$f (x) = 3 x^{\ln (x)}$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{\ln (x)}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

단계 2

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 2.1

$x^{\ln (x)}$ 을 $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

단계 2.2

$\ln (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{\ln (x)})$ 을 전개합니다.

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

단계 3

$\ln (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

단계 4

$\ln (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

단계 5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

단계 6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

단계 7

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \ln^{2} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\ln^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

단계 7.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

단계 7.3

$u_{1}$ 를 모두 $\ln^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$3 (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

단계 8

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$3 e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 8.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 8.3

$u_{2}$ 를 모두 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 9

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 10

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{1}{x})$

단계 11

분수를 통분합니다.

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단계 11.1

$\ln (x)$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$6 e^{\ln^{2} (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

단계 11.2

$\frac{\ln (x)}{x}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) \cdot 6}{x} e^{\ln^{2} (x)}$

단계 11.3

$\frac{\ln (x) \cdot 6}{x}$ 와 $e^{\ln^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) \cdot 6 e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

단계 11.4

$\ln (x)$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\frac{6 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

단계 12

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.1

$6$ 를 로그 안으로 옮겨 $6 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

단계 12.2

$\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{6})}{x}$