미적분 예제

$f (x) = 4 x^{2} + 3 \sqrt{x} + \frac{6}{\sqrt{x}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} + 3 \sqrt{x} + \frac{6}{\sqrt{x}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 2.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 x + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$8 x + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$8 x + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 3.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 3.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 3.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 3.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 3.9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$8 x + 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 3.10

$3$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$8 x + \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 3.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 4.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 4.3

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 4.4

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.4.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.5

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4.6

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4.6.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

단계 4.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 4.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 4.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

단계 4.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

단계 4.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

단계 4.12

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 4.13

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x^{- 1}$ 을 묶습니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

단계 4.14

지수를 더하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 4.14.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

단계 4.14.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

단계 4.14.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

단계 4.14.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

단계 4.14.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.14.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

단계 4.14.5.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

단계 4.14.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

단계 4.15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

단계 4.16

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.17

$- 6$ 와 $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 6}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.18

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.19

공약수로 약분합니다.

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단계 4.19.1

$2 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

단계 4.19.2

공약수로 약분합니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.19.3

수식을 다시 씁니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.20

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$