미적분 예제

$f (x) = 8 x^{2} \ln (8 x)$

단계 1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{2} \ln (8 x)$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (8 x)]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (8 x)]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (8 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (8 x)] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 8 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $8 x$ 로 바꿉니다.

$8 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$8 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $8 x$ 로 바꿉니다.

$8 (x^{2} (\frac{1}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{8 x}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$8 (\frac{x^{2}}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$8 (\frac{x \cdot x}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1

$8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$8 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$8 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$8 (\frac{x}{8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.3

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$8 (\frac{x}{8} (8 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4

항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$8$ 와 $\frac{x}{8}$ 을 묶습니다.

$8 (\frac{8 x}{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4.2

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$8 (\frac{8 x}{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$8 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (x \cdot 1 + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.6

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 (x + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (x + \ln (8 x) (2 x))$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$8 x + 8 (\ln (8 x) (2 x))$

단계 5.2

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$8 x + 16 \ln (8 x) x$

단계 5.3

항을 다시 정렬합니다.

$16 x \ln (8 x) + 8 x$