미적분 예제

$f (x) = 6 x^{- 2} + 8 x^{3} + 11 x$

단계 1

합의 법칙에 의해 $6 x^{- 2} + 8 x^{3} + 11 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [11 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [11 x]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [6 x^{- 2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{- 2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [11 x]$

단계 2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [11 x]$

단계 2.3

$- 2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 12 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [11 x]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- 12 x^{- 3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [11 x]$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12 x^{- 3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [11 x]$

단계 3.3

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 12 x^{- 3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [11 x]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [11 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$11$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $11 x$ 의 미분은 $11 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 12 x^{- 3} + 24 x^{2} + 11 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12 x^{- 3} + 24 x^{2} + 11 \cdot 1$

단계 4.3

$11$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12 x^{- 3} + 24 x^{2} + 11$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 12 \frac{1}{x^{3}} + 24 x^{2} + 11$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$- 12$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 12}{x^{3}} + 24 x^{2} + 11$

단계 5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{12}{x^{3}} + 24 x^{2} + 11$

단계 5.3

항을 다시 정렬합니다.

$24 x^{2} - \frac{12}{x^{3}} + 11$