미적분 예제

$f (x) = 55.36 e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)$

단계 1

$55.36$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $55.36 e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)$ 의 미분은 $55.36 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)]$ 입니다.

$55.36 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)]$

단계 2

$f (x) = e^{- 0.5 x}$ , $g (x) = - 26.9 x + 127.1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$55.36 (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 26.9 x + 127.1] + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $- 26.9 x + 127.1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 26.9 x] + \frac{d}{d x} [127.1]$ 가 됩니다.

$55.36 (e^{- 0.5 x} (\frac{d}{d x} [- 26.9 x] + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

단계 3.2

$- 26.9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 26.9 x$ 의 미분은 $- 26.9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

단계 3.4

$- 26.9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

단계 3.5

$127.1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $127.1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $127.1$ 입니다.

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 + 0) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$- 26.9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$55.36 (e^{- 0.5 x} \cdot - 26.9 + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

단계 3.6.2

$e^{- 0.5 x}$ 의 왼쪽으로 $- 26.9$ 이동하기

$55.36 (- 26.9 \cdot e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

단계 4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 0.5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 0.5 x$ 로 바꿉니다.

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x]))$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 0.5 x]))$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $- 0.5 x$ 로 바꿉니다.

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 0.5 x]))$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$- 0.5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 0.5 x$ 의 미분은 $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1))$

단계 5.3

식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$- 0.5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5)$

단계 5.3.2

$(- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x}$ 의 왼쪽으로 $- 0.5$ 이동하기

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} - 0.5 \cdot ((- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x}))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 0.5 (- 26.9 x) - 0.5 \cdot 127.1) e^{- 0.5 x})$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} - 0.5 (- 26.9 x) e^{- 0.5 x} - 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 (- 26.9 x) e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

단계 6.4

항을 묶습니다.

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단계 6.4.1

$- 26.9$ 에 $55.36$ 을 곱합니다.

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 55.36 (- 0.5 (- 26.9 x) e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

단계 6.4.2

$- 26.9$ 에 $- 0.5$ 을 곱합니다.

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 55.36 (13.45 x e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

단계 6.4.3

$13.45$ 에 $55.36$ 을 곱합니다.

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 744.592 (x e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

단계 6.4.4

$- 0.5$ 에 $127.1$ 을 곱합니다.

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 744.592 x e^{- 0.5 x} + 55.36 (- 63.55 e^{- 0.5 x})$

단계 6.4.5

$- 63.55$ 에 $55.36$ 을 곱합니다.

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 744.592 x e^{- 0.5 x} - 3518.128 e^{- 0.5 x}$

단계 6.4.6

$- 1489.184 e^{- 0.5 x}$ 에서 $3518.128 e^{- 0.5 x}$ 을 뺍니다.

$744.592 x e^{- 0.5 x} - 5007.312 e^{- 0.5 x}$

단계 6.5

항을 다시 정렬합니다.

$744.592 e^{- 0.5 x} x - 5007.312 e^{- 0.5 x}$

단계 6.6

$744.592 e^{- 0.5 x} x - 5007.312 e^{- 0.5 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$744.592 x e^{- 0.5 x} - 5007.312 e^{- 0.5 x}$