미적분 예제

$f (x) = 5 + 75 x - 2 x^{2} + 8 y - 0.5 x y + 4 z^{2}$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $5 + 75 x - 2 x^{2} + 8 y - 0.5 x y + 4 z^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

단계 1.2

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [75 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$75$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $75 x$ 의 미분은 $75 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 + 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

단계 2.3

$75$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 75 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{2}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 + 75 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 75 - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

단계 3.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$0 + 75 - 4 x + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

단계 4

$8 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8 y$ 입니다.

$0 + 75 - 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

단계 5

$\frac{d}{d x} [- 0.5 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1

$- 0.5 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 0.5 x y$ 의 미분은 $- 0.5 y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

단계 5.3

$- 0.5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

단계 6

$4 z^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4 z^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4 z^{2}$ 입니다.

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y + 0$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

항을 묶습니다.

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단계 7.1.1

$0$ 를 $75$ 에 더합니다.

$75 - 4 x + 0 - 0.5 y + 0$

단계 7.1.2

$75 - 4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$75 - 4 x - 0.5 y + 0$

단계 7.1.3

$75 - 4 x - 0.5 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$75 - 4 x - 0.5 y$

단계 7.2

항을 다시 정렬합니다.

$- 4 x - 0.5 y + 75$