미적분 예제

$f (x) = 3 x e^{- 9 x^{2}}$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x e^{- 9 x^{2}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x e^{- 9 x^{2}}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x e^{- 9 x^{2}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- 9 x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 9 x^{2}}] + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 9 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 9 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $- 9 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 9 x^{2}$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 9 (2 x))) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$2$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 (x^{1} x (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 (x^{1} x^{1} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 (x^{1 + 1} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 (x^{2} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8.2

$e^{- 9 x^{2}}$ 의 왼쪽으로 $- 18$ 이동하기

$3 (x^{2} (- 18 \cdot e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}} \cdot 1)$

단계 10

$e^{- 9 x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}})$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}})) + 3 e^{- 9 x^{2}}$

단계 11.2

$- 18$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 54 x^{2} e^{- 9 x^{2}} + 3 e^{- 9 x^{2}}$

단계 11.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 54 e^{- 9 x^{2}} x^{2} + 3 e^{- 9 x^{2}}$

단계 11.4

$- 54 e^{- 9 x^{2}} x^{2} + 3 e^{- 9 x^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 54 x^{2} e^{- 9 x^{2}} + 3 e^{- 9 x^{2}}$