미적분 예제

$f (x) = 3 x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = {(6 - 9 x)}^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - 9 x)}^{4}] + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 6 - 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6 - 9 x$ 로 바꿉니다.

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $6 - 9 x$ 로 바꿉니다.

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $6 - 9 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ 가 됩니다.

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.2

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ 에 더합니다.

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 9 x$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (- 9 \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.5

$- 9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3} \cdot 1) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.7

$- 36$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + {(6 - 9 x)}^{4} (2 x))$

단계 4.9

${(6 - 9 x)}^{4}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + 2 \cdot {(6 - 9 x)}^{4} x)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3})) + 3 (2 {(6 - 9 x)}^{4} x)$

단계 5.2

$- 36$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 108 (x^{2} ({(6 - 9 x)}^{3})) + 3 (2 {(6 - 9 x)}^{4} x)$

단계 5.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3} + 6 ({(6 - 9 x)}^{4} x)$

단계 5.4

$- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3} + 6 {(6 - 9 x)}^{4} x$ 에서 $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.4.1

$- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3}$ 에서 $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 {(6 - 9 x)}^{4} x$

단계 5.4.2

$6 {(6 - 9 x)}^{4} x$ 에서 $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 x {(6 - 9 x)}^{3} (6 - 9 x)$

단계 5.4.3

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 x {(6 - 9 x)}^{3} (6 - 9 x)$ 에서 $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x + 6 - 9 x)$

단계 5.5

$- 18 x$ 에서 $9 x$ 을 뺍니다.

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 27 x + 6)$