미적분 예제

$f (x) = - 2 e^{- 5 x} + 15 x^{0.2} - 4$

단계 1

합의 법칙에 의해 $- 2 e^{- 5 x} + 15 x^{0.2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 e^{- 5 x}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 5 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $- 5 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.3

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.5

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 (e^{- 5 x} \cdot - 5) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.6

$e^{- 5 x}$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$- 2 (- 5 \cdot e^{- 5 x}) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 2.7

$- 5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$10 e^{- 5 x} + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [15 x^{0.2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $15 x^{0.2}$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d x} [x^{0.2}]$ 입니다.

$10 e^{- 5 x} + 15 \frac{d}{d x} [x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.2

$n = 0.2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 e^{- 5 x} + 15 (0.2 x^{- 0.8}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 3.3

$0.2$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$10 e^{- 5 x} + 3 x^{- 0.8} + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 4

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$10 e^{- 5 x} + 3 x^{- 0.8} + 0$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$10 e^{- 5 x} + 3 \frac{1}{x^{0.8}} + 0$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{x^{0.8}}$ 을 묶습니다.

$10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}} + 0$

단계 5.2.2

$10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}}$