미적분 예제

$f (x) = 12 x {(x^{2} + 10)}^{5}$

단계 1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x {(x^{2} + 10)}^{5}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{5}]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{5}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 10)}^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{5}] + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = x^{2} + 10$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 10$ 로 바꿉니다.

$12 (x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 10$ 로 바꿉니다.

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ 가 됩니다.

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10])) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [10])) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $10$ 입니다.

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (2 x)) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$12 (x (10 {(x^{2} + 10)}^{4} x) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 (x^{1} x (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 (x^{1} x^{1} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 (x^{1 + 1} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \cdot 1)$

단계 10

${(x^{2} + 10)}^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5})$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$

단계 11.2

$10$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$120 (x^{2} ({(x^{2} + 10)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$

단계 11.3

$120 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{4} + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$ 에서 $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.3.1

$120 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{4}$ 에서 $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$

단계 11.3.2

$12 {(x^{2} + 10)}^{5}$ 에서 $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 10)}^{4} (x^{2} + 10)$

단계 11.3.3

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 10)}^{4} (x^{2} + 10)$ 에서 $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2} + x^{2} + 10)$

단계 11.4

$10 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (11 x^{2} + 10)$