미적분 예제

$f (x) = 10 x - 5 x^{3} + 3 x^{\frac{2}{3}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $10 x - 5 x^{3} + 3 x^{\frac{2}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [10 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.3

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$10 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{3}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$10 - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

단계 3.3

$3$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$10 - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 입니다.

$10 - 15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

단계 4.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

단계 4.6.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

단계 4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

단계 4.8

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$10 - 15 x^{2} + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

단계 4.9

$3$ 와 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

단계 4.10

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$10 - 15 x^{2} + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

단계 4.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$10 - 15 x^{2} + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 4.12

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 4.13

공약수로 약분합니다.

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단계 4.13.1

$3 x^{\frac{1}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

단계 4.13.2

공약수로 약분합니다.

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

단계 4.13.3

수식을 다시 씁니다.

$10 - 15 x^{2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

단계 5

항을 다시 정렬합니다.

$- 15 x^{2} + 10 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$