미적분 예제

$f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $e^{3 x} + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.2.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.2.5

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$3 e^{3 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 e^{3 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 e^{3 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

단계 1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 e^{3 x} + e^{- x} \cdot - 1$

단계 1.3.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$3 e^{3 x} - 1 \cdot e^{- x}$

단계 1.3.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 e^{3 x} - e^{- x}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $3 e^{3 x} - e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 e^{3 x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 입니다.

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 2.2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 2.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 2.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 2.2.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 2.2.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 2.2.6

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f'' (x) = 3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 2.2.7

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 입니다.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

단계 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

단계 2.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

단계 2.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

단계 2.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

단계 2.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

단계 2.3.6

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

단계 2.3.7

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + e^{- x}$

단계 2.3.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + 1 e^{- x}$

단계 2.3.9

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + e^{- x}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $e^{3 x} + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 4.1.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 4.1.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 4.1.2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 4.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 4.1.2.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 4.1.2.5

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

단계 4.1.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

단계 4.1.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

단계 4.1.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

단계 4.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

단계 4.1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \cdot - 1$

단계 4.1.3.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f' (x) = 3 e^{3 x} - 1 \cdot e^{- x}$

단계 4.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 3 e^{3 x} - e^{- x}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $3 e^{3 x} - e^{- x}$ 입니다.

$3 e^{3 x} - e^{- x}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$

단계 5.2

양변에 그 값을 더하여 $- e^{- x}$ 을 식의 우변으로 옮깁니다.

$3 e^{3 x} = e^{- x}$

단계 5.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (3 e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

단계 5.4

왼편을 확장합니다.

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단계 5.4.1

$\ln (3 e^{3 x})$ 을 $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (3) + \ln (e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

단계 5.4.2

$3 x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{3 x})$ 을 전개합니다.

$\ln (3) + 3 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

단계 5.4.3

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\ln (3) + 3 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

단계 5.4.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (3) + 3 x = \ln (e^{- x})$

단계 5.5

왼편을 확장합니다.

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단계 5.5.1

$- x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- x})$ 을 전개합니다.

$\ln (3) + 3 x = - x \ln (e)$

단계 5.5.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\ln (3) + 3 x = - x \cdot 1$

단계 5.5.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (3) + 3 x = - x$

단계 5.6

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 5.6.1

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$\ln (3) + 3 x + x = 0$

단계 5.6.2

$3 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\ln (3) + 4 x = 0$

단계 5.7

방정식의 양변에서 $\ln (3)$ 를 뺍니다.

$4 x = - \ln (3)$

단계 5.8

$4 x = - \ln (3)$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.8.1

$4 x = - \ln (3)$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

단계 5.8.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.8.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

단계 5.8.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- \ln (3)}{4}$

단계 5.8.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.8.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$

단계 8

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$9 e^{3 (- \frac{\ln (3)}{4})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

단계 9

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{\ln (3)}{4}$ 을 $\frac{1}{4} \ln (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$9 e^{3 (- (\frac{1}{4} \ln (3)))} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

단계 9.2

$\frac{1}{4}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{4} \ln (3)$ 을 간단히 합니다.

$9 e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

단계 9.3

$3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ 을 곱합니다.

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단계 9.3.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

단계 9.3.2

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ 을 간단히 합니다.

$9 e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

단계 9.4

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})$ 을 간단히 합니다.

$9 e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

단계 9.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$9 {({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

단계 9.6

${({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 9.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$9 {(3^{\frac{1}{4}})}^{3 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

단계 9.6.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$9 {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

단계 9.7

${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 9.7.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$9 \cdot 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

단계 9.7.2

$\frac{1}{4}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$9 \cdot 3^{\frac{- 3}{4}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

단계 9.7.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$9 \cdot 3^{- \frac{3}{4}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

단계 9.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$9 \cdot \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

단계 9.9

$9$ 와 $\frac{1}{3^{\frac{3}{4}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

단계 9.10

$\frac{\ln (3)}{4}$ 을 $\frac{1}{4} \ln (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- - (\frac{1}{4} \ln (3))}$

단계 9.11

$\frac{1}{4}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{4} \ln (3)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- - \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

단계 9.12

$- - \ln (3^{\frac{1}{4}})$ 을 곱합니다.

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단계 9.12.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{1 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

단계 9.12.2

$\ln (3^{\frac{1}{4}})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})}$

단계 9.13

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = - \frac{\ln (3)}{4}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

Simplify $- \frac{\ln (3)}{4}$ to substitute in $f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$ .

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단계 11.1.1

$\frac{\ln (3)}{4}$ 을 $\frac{1}{4} \ln (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - (\frac{1}{4} \cdot \ln (3))$

단계 11.1.2

$\frac{1}{4}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{4} \ln (3)$ 을 간단히 합니다.

$y = - \ln (3^{\frac{1}{4}})$

단계 11.2

수식에서 변수 $x$ 에 $- \ln (3^{\frac{1}{4}})$ 을 대입합니다.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

단계 11.3

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.3.1.1

$3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ 을 곱합니다.

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단계 11.3.1.1.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

단계 11.3.1.1.2

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ 을 간단히 합니다.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

단계 11.3.1.2

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})$ 을 간단히 합니다.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

단계 11.3.1.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

단계 11.3.1.4

${({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 11.3.1.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {(3^{\frac{1}{4}})}^{3 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

단계 11.3.1.4.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

단계 11.3.1.5

${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 11.3.1.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

단계 11.3.1.5.2

$\frac{1}{4}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{- 3}{4}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

단계 11.3.1.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{- \frac{3}{4}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

단계 11.3.1.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

단계 11.3.1.7

$- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ 을 곱합니다.

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단계 11.3.1.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{1 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

단계 11.3.1.7.2

$\ln (3^{\frac{1}{4}})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})}$

단계 11.3.1.8

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

단계 11.3.2

최종 답은 $\frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$ 입니다.

$y = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

단계 12

$f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$ 에 대한 극값입니다.

$(- \frac{\ln (3)}{4}, \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}})$ 은 극솟값임

단계 13