미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} x - \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} x$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 1.2.3

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$\frac{1}{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{1}{2} - \cos (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

미분합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} - \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

단계 2.1.2

$\frac{1}{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{1}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cos (x)$

단계 2.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

단계 2.2.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + 1 \sin (x)$

단계 2.2.4

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

단계 2.3

$0$ 를 $\sin (x)$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \sin (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{1}{2} - \cos (x) = 0$

단계 4

방정식의 양변에서 $\frac{1}{2}$ 를 뺍니다.

$- \cos (x) = - \frac{1}{2}$

단계 5

$- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

단계 5.2.2

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\cos (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

단계 5.3.2

$\frac{1}{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

단계 6

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

단계 7

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$x = \frac{π}{3}$

단계 8

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

단계 9

$2 π - \frac{π}{3}$ 을 간단히 합니다.

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단계 9.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 9.2

분수를 통분합니다.

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단계 9.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 9.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

단계 9.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 π - π}{3}$

단계 9.3.2

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{3}$

단계 10

방정식 $x = \frac{π}{3}$ 의 해.

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

단계 11

$x = \frac{π}{3}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\sin (\frac{π}{3})$

단계 12

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 13

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{π}{3}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{π}{3}$ 은 극소값입니다.

단계 14

$x = \frac{π}{3}$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 14.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{3})$

단계 14.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 14.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 14.2.1.1

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3})$ 을 곱합니다.

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단계 14.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{π}{3}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{π}{3})$

단계 14.2.1.1.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \sin (\frac{π}{3})$

단계 14.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 14.2.2

최종 답은 $\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$y = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 15

$x = \frac{5 π}{3}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\sin (\frac{5 π}{3})$

단계 16

이차 미분값을 구합니다.

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단계 16.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- \sin (\frac{π}{3})$

단계 16.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 17

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{5 π}{3}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{5 π}{3}$ 은 극대값입니다

단계 18

$x = \frac{5 π}{3}$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 18.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{5 π}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5 π}{3}) - \sin (\frac{5 π}{3})$

단계 18.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 18.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 18.2.1.1

$\frac{1}{2} (\frac{5 π}{3})$ 을 곱합니다.

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단계 18.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{5 π}{3}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{5 π}{3})$

단계 18.2.1.1.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} - \sin (\frac{5 π}{3})$

단계 18.2.1.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \sin (\frac{π}{3})$

단계 18.2.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 18.2.1.4

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 18.2.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + 1 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 18.2.1.4.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 18.2.2

최종 답은 $\frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$y = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 19

$f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ 은 극솟값임

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ 은 극댓값임

단계 20