미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{4} x^{4} - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.4

$\frac{4}{4}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.2.5.2

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{3} - \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} - 1 \cdot 1$

단계 1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{3} - 1$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 0$

단계 2.4

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 3 x^{2}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$x^{3} - 1 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{4} x^{4} - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.2.4

$\frac{4}{4}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.2.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.2.5.2

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{3} - \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} - 1 \cdot 1$

단계 4.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{3} - 1$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x^{3} - 1$ 입니다.

$x^{3} - 1$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x^{3} - 1 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x^{3} - 1 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x^{3} = 1$

단계 5.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{3} - 1 = 0$

단계 5.4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} - 1^{3} = 0$

단계 5.4.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 5.4.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

단계 5.4.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

단계 5.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

단계 5.6

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 5.6.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5.7

$x^{2} + x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

$x^{2} + x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + x + 1 = 0$

단계 5.7.2

$x^{2} + x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 5.7.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.3.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.3.1.3

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.3.1.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

단계 5.7.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.4.1.3

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.4.1.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

단계 5.7.2.4.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

단계 5.7.2.4.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

단계 5.7.2.4.5

$i \sqrt{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

단계 5.7.2.4.6

$- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

단계 5.7.2.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

단계 5.7.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.5.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.5.1.3

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.5.1.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 5.7.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

단계 5.7.2.5.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

단계 5.7.2.5.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

단계 5.7.2.5.5

$- i \sqrt{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

단계 5.7.2.5.6

$- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

단계 5.7.2.5.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

단계 5.7.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

단계 5.8

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 1$

단계 8

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$3 {(1)}^{2}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 \cdot 1$

단계 9.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 1$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot {(1)}^{4} - (1)$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot 1 - (1)$

단계 11.2.1.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1}{4} - (1)$

단계 11.2.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1}{4} - 1$

단계 11.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

단계 11.2.3

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

단계 11.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

단계 11.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.5.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1 - 4}{4}$

단계 11.2.5.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f (1) = \frac{- 3}{4}$

단계 11.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (1) = - \frac{3}{4}$

단계 11.2.7

최종 답은 $- \frac{3}{4}$ 입니다.

$y = - \frac{3}{4}$

단계 12

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x$ 에 대한 극값입니다.

$(1, - \frac{3}{4})$ 은 극솟값임

단계 13