미적분 예제

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{10}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.2.2

$\frac{10 x^{3}}{3}$ 에 $\frac{51}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.2.3

$51$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.2.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.2.5

$510$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$510 x^{3}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

$6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.2.5.2.4

$85 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.2.6

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.2.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.2.6.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.2.7

$85$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $85 x^{5}$ 의 미분은 $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.2.8

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.2.9

$5$ 에 $85$ 을 곱합니다.

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.3.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$425 x^{4} + 5 + 0$

단계 1.4.2

$425 x^{4} + 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$425 x^{4} + 5$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $425 x^{4} + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [425 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (425 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [425 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$425$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $425 x^{4}$ 의 미분은 $425 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f'' (x) = 425 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

단계 2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 425 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (5)$

단계 2.2.3

$4$ 에 $425$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 1700 x^{3} + \frac{d}{d x} (5)$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$f'' (x) = 1700 x^{3} + 0$

단계 2.3.2

$1700 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 1700 x^{3}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$425 x^{4} + 5 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$\frac{10}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.2.2

$\frac{10 x^{3}}{3}$ 에 $\frac{51}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.2.3

$51$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.2.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.2.5

$510$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.1

$510 x^{3}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.2.1

$6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.2.5.2.4

$85 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.2.6

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.6.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.2.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.2.6.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.2.7

$85$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $85 x^{5}$ 의 미분은 $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.2.8

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.2.9

$5$ 에 $85$ 을 곱합니다.

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.3.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

단계 4.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$425 x^{4} + 5 + 0$

단계 4.1.4.2

$425 x^{4} + 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 425 x^{4} + 5$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $425 x^{4} + 5$ 입니다.

$425 x^{4} + 5$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $425 x^{4} + 5 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$425 x^{4} + 5 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$425 x^{4} = - 5$

단계 5.3

$425 x^{4} = - 5$ 의 각 항을 $425$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$425 x^{4} = - 5$ 의 각 항을 $425$ 로 나눕니다.

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$425$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

단계 5.3.2.1.2

$x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{4} = \frac{- 5}{425}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$- 5$ 및 $425$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

$- 5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$x^{4} = \frac{5 (- 1)}{425}$

단계 5.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.2.1

$425$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

단계 5.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

단계 5.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{4} = \frac{- 1}{85}$

단계 5.3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{4} = - \frac{1}{85}$

단계 5.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

단계 5.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

단계 5.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

단계 5.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

단계 8

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$1700 {(\sqrt[4]{- \frac{1}{85}})}^{3}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

${\sqrt[4]{- \frac{1}{85}}}^{3}$ 을 $\sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$1700 \sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$

단계 9.2

$- \frac{1}{85}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$1700 \sqrt[4]{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{85})}^{3}}$

단계 9.3

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$1700 \sqrt[4]{- {(\frac{1}{85})}^{3}}$

단계 9.4

$\frac{1}{85}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1^{3}}{85^{3}}}$

단계 9.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{85^{3}}}$

단계 9.6

$85$ 를 $3$ 승 합니다.

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{614125}}$

단계 10

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 10.2

1차 도함수 $425 x^{4} + 5$ 의 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 $0$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = 425 {(0)}^{4} + 5$

단계 10.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = 425 \cdot 0 + 5$

단계 10.2.2.1.2

$425$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 5$

단계 10.2.2.2

$0$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f' (0) = 5$

단계 10.2.2.3

최종 답은 $5$ 입니다.

$5$

단계 10.3

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ 에 대해 극댓값 또는 극솟값 없음.

극댓값 또는 극솟값 없음

단계 11