미적분 예제

$f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$

단계 1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

단계 1.3

${(x^{4})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

단계 1.3.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

단계 1.4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

단계 1.5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}}$

단계 1.5.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

단계 1.5.2.2

$4$ 와 $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

단계 1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

단계 1.6.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.1

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

단계 1.6.2.2

$4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

단계 1.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

단계 1.6.4

$4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ 에서 $4 e^{x} x^{3}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.4.1

$4 e^{x} x^{4}$ 에서 $4 e^{x} x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

단계 1.6.4.2

$- 16 e^{x} x^{3}$ 에서 $4 e^{x} x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

단계 1.6.4.3

$4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ 에서 $4 e^{x} x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

단계 1.6.5

$x^{3}$ 및 $x^{8}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.5.1

$4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

단계 1.6.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.5.2.1

$x^{8}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

단계 1.6.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

단계 1.6.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}})$

단계 2.2

$f (x) = e^{x} (x - 4)$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}})$

단계 2.3

${(x^{5})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{5 \cdot 2}})$

단계 2.3.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

단계 2.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

단계 2.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

단계 2.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

단계 2.5.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

단계 2.5.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

단계 2.5.4.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

단계 2.6

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

단계 2.7

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) (5 x^{4})}{x^{10}})$

단계 2.7.2

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.1

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

단계 2.7.2.2

$x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.2.1

$x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x})$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

단계 2.7.2.2.2

$- 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

단계 2.7.2.2.3

$x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

단계 2.8

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

$x^{10}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

단계 2.8.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

단계 2.8.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}})$

단계 2.9

$4$ 와 $\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

단계 2.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + x e^{x} - 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

단계 2.10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

단계 2.10.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} x - 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

단계 2.10.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x}) + 4 (x (x e^{x})) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

단계 2.10.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.5.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.5.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x \cdot x e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

단계 2.10.5.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x^{2} e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

단계 2.10.5.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 4 (- 4 x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

단계 2.10.5.1.3

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 (x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

단계 2.10.5.1.4

$- 5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 (e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

단계 2.10.5.1.5

$- 4$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 4 (20 e^{x})}{x^{6}}$

단계 2.10.5.1.6

$20$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

단계 2.10.5.2

$4 x e^{x}$ 에서 $16 x e^{x}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

단계 2.10.5.3

$- 12 x e^{x}$ 에서 $20 e^{x} x$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.5.3.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} - 20 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

단계 2.10.5.3.2

$- 12 x e^{x}$ 에서 $20 x e^{x}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 32 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

단계 2.10.6

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = \frac{- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

단계 2.10.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.7.1

$- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}$ 에서 $4 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.7.1.1

$- 32 e^{x} x$ 에서 $4 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

단계 2.10.7.1.2

$4 e^{x} x^{2}$ 에서 $4 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 80 e^{x}}{x^{6}}$

단계 2.10.7.1.3

$80 e^{x}$ 에서 $4 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

단계 2.10.7.1.4

$4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2})$ 에서 $4 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

단계 2.10.7.1.5

$4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)$ 에서 $4 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2} + 20)}{x^{6}}$

단계 2.10.7.2

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (x^{2} - 8 x + 20)}{x^{6}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{x^{4}})$

단계 4.1.2

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}})$

단계 4.1.3

${(x^{4})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}})$

단계 4.1.3.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

단계 4.1.4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

단계 4.1.5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}})$

단계 4.1.5.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.2.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}})$

단계 4.1.5.2.2

$4$ 와 $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

단계 4.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

단계 4.1.6.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.2.1

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

단계 4.1.6.2.2

$4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

단계 4.1.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

단계 4.1.6.4

$4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ 에서 $4 e^{x} x^{3}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.4.1

$4 e^{x} x^{4}$ 에서 $4 e^{x} x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

단계 4.1.6.4.2

$- 16 e^{x} x^{3}$ 에서 $4 e^{x} x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

단계 4.1.6.4.3

$4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ 에서 $4 e^{x} x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

단계 4.1.6.5

$x^{3}$ 및 $x^{8}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.5.1

$4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

단계 4.1.6.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.5.2.1

$x^{8}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

단계 4.1.6.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

단계 4.1.6.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ 입니다.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$4 e^{x} (x - 4) = 0$

단계 5.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{x} = 0$

$x - 4 = 0$

단계 5.3.2

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.3.2.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 5.3.2.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 5.3.2.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 5.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 5.3.3

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 5.3.3.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 5.3.4

$4 e^{x} (x - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{5} = 0$

단계 6.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

단계 6.2.2

$\sqrt[5]{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 6.2.2.1

$0$ 을 $0^{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

단계 6.2.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 7

계산할 임계점.

$x = 4$

단계 8

$x = 4$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{{(4)}^{6}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

$4$ 및 ${(4)}^{6}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{{(4)}^{6}}$

단계 9.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

${(4)}^{6}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

단계 9.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

단계 9.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

단계 9.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{e^{4} (16 - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

단계 9.2.2

$- 8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{4} (16 - 32 + 20)}{4^{5}}$

단계 9.2.3

$16$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{4} (- 16 + 20)}{4^{5}}$

단계 9.2.4

$- 16$ 를 $20$ 에 더합니다.

$\frac{e^{4} \cdot 4}{4^{5}}$

단계 9.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 9.3.1

$4$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{e^{4} \cdot 4}{1024}$

단계 9.3.2

$4$ 및 $1024$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

$e^{4} \cdot 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot e^{4}}{1024}$

단계 9.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.2.1

$1024$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

단계 9.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

단계 9.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{4}}{256}$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 4$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 4$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 4$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{{(4)}^{4}}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$4$ 및 ${(4)}^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$4 e^{4}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{{(4)}^{4}}$

단계 11.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.2.1

${(4)}^{4}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{4 \cdot 4^{3}}$

단계 11.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{4 \cdot 4^{3}}$

단계 11.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (4) = \frac{e^{4}}{4^{3}}$

단계 11.2.2

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (4) = \frac{e^{4}}{64}$

단계 11.2.3

최종 답은 $\frac{e^{4}}{64}$ 입니다.

$y = \frac{e^{4}}{64}$

단계 12

$f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ 에 대한 극값입니다.

$(4, \frac{e^{4}}{64})$ 은 극솟값임

단계 13