미적분 예제

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 16}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 x}{x^{2} + 16}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$

단계 1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} + 16$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.3.2

$x^{2} + 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.3.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 가 됩니다.

$4 \frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.3.5

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$4 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.3.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.8

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$4 \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.9

$4$ 와 $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.10

간단히 합니다.

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단계 1.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.10.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.10.2.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 1.10.2.2

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4 x^{2} + 64}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = - 4 x^{2} + 64$ , $g (x) = {(x^{2} + 16)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 64) - (- 4 x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}}$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

${({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 64) - (- 4 x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2 \cdot 2}}$

단계 2.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 64) - (- 4 x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.2.2

합의 법칙에 의해 $- 4 x^{2} + 64$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (64)) - (- 4 x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.2.3

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{2}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (64)) - (- 4 x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (64)) - (- 4 x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.2.5

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (64)) - (- 4 x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.2.6

$64$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $64$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $64$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.2.7

$- 8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 16$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 16$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 64) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 64) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 16$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 64) (2 (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.4

미분합니다.

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단계 2.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 64) ((x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.4.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 64) ((x^{2} + 16) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 64) ((x^{2} + 16) (2 x + \frac{d}{d x} (16)))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.4.4

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 64) ((x^{2} + 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.4.5

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.5.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 64) ((x^{2} + 16) (2 x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.4.5.2

$x^{2} + 16$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 64) (2 \cdot ((x^{2} + 16) x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.4.5.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 8 x) - 4 (- 4 x^{2} + 64) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 {(x^{2} + 16)}^{2} x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.2

${(x^{2} + 16)}^{2}$ 을 $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 ((x^{2} + 16) (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ 를 전개합니다.

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단계 2.5.3.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} (x^{2} + 16) + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.3.1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.3.1.4.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.3.1.4.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.4.1.1.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.4.1.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $16$ 이동하기

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + 16 \cdot x^{2} + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.4.1.3

$16$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + 16 x^{2} + 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.4.2

$16 x^{2}$ 를 $16 x^{2}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 8 (32 x^{2}) - 8 \cdot 256) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1.6.1

$32$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 256 x^{2} - 8 \cdot 256) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.6.2

$- 8$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 256 x^{2} - 2048) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{4} x - 256 x^{2} x - 2048 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1.8.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.3.1.8.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) - 256 x^{2} x - 2048 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.8.1.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) - 256 x^{2} x - 2048 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.8.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{1 + 4} - 256 x^{2} x - 2048 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.8.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{2} x - 2048 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.8.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1.8.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 (x \cdot x^{2}) - 2048 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.8.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 (x \cdot x^{2}) - 2048 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.8.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{1 + 2} - 2048 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.8.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.9

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.3.1.9.1

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + (16 x^{2} - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.9.2

$- 4$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + (16 x^{2} - 256) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.10

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1.10.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1.10.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + (16 x^{2} - 256) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.10.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + (16 x^{2} - 256) (x^{2 + 1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.10.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + (16 x^{2} - 256) (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.11

FOIL 계산법을 이용하여 $(16 x^{2} - 256) (x^{3} + 16 x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + 16 x^{2} (x^{3} + 16 x) - 256 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} (16 x) - 256 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.11.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} (16 x) - 256 x^{3} - 256 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.12

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1.12.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1.12.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1.12.1.1.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + 16 (x^{3} x^{2}) + 16 x^{2} (16 x) - 256 x^{3} - 256 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.12.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + 16 x^{3 + 2} + 16 x^{2} (16 x) - 256 x^{3} - 256 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.12.1.1.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + 16 x^{5} + 16 x^{2} (16 x) - 256 x^{3} - 256 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.12.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (16 x^{2} x) - 256 x^{3} - 256 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.12.1.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1.12.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (16 (x \cdot x^{2})) - 256 x^{3} - 256 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.12.1.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1.12.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (16 (x \cdot x^{2})) - 256 x^{3} - 256 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.12.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (16 x^{1 + 2}) - 256 x^{3} - 256 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.12.1.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (16 x^{3}) - 256 x^{3} - 256 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.12.1.4

$16$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + 16 x^{5} + 256 x^{3} - 256 x^{3} - 256 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.12.1.5

$16$ 에 $- 256$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + 16 x^{5} + 256 x^{3} - 256 x^{3} - 4096 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.12.2

$256 x^{3}$ 에서 $256 x^{3}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + 16 x^{5} + 0 - 4096 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.1.12.3

$16 x^{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x + 16 x^{5} - 4096 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.2

$- 8 x^{5}$ 를 $16 x^{5}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 256 x^{3} - 2048 x - 4096 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.3.3

$- 2048 x$ 에서 $4096 x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 256 x^{3} - 6144 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1

$8 x^{5} - 256 x^{3} - 6144 x$ 에서 $8 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1.1

$8 x^{5}$ 에서 $8 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) - 256 x^{3} - 6144 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.4.1.2

$- 256 x^{3}$ 에서 $8 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (- 32 x^{2}) - 6144 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.4.1.3

$- 6144 x$ 에서 $8 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (- 32 x^{2}) + 8 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.4.1.4

$8 x (x^{4}) + 8 x (- 32 x^{2})$ 에서 $8 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 8 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.4.1.5

$8 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 8 x (- 768)$ 에서 $8 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.4.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{8 x ({(x^{2})}^{2} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.4.3

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{8 x (u^{2} - 32 u - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.4.4

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 32 u - 768$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 768$ 이고 합은 $- 32$ 입니다.

$- 48, 16$

단계 2.5.4.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$f'' (x) = \frac{8 x ((u - 48) (u + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.4.5

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.5

$x^{2} + 16$ 및 ${(x^{2} + 16)}^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.1

$8 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)$ 에서 $x^{2} + 16$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 16) (8 x (x^{2} - 48))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

단계 2.5.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.2.1

${(x^{2} + 16)}^{4}$ 에서 $x^{2} + 16$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 16) (8 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

단계 2.5.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 16) (8 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

단계 2.5.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{- 4 x^{2} + 64}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 x}{x^{2} + 16}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 16})$

단계 4.1.2

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

단계 4.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

단계 4.1.3.2

$x^{2} + 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

단계 4.1.3.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 가 됩니다.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

단계 4.1.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

단계 4.1.3.5

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

단계 4.1.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

단계 4.1.3.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

단계 4.1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

단계 4.1.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

단계 4.1.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

단계 4.1.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

단계 4.1.8

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

단계 4.1.9

$4$ 와 $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 4.1.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 4.1.10.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.10.2.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 4.1.10.2.2

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 64}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{- 4 x^{2} + 64}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{- 4 x^{2} + 64}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{- 4 x^{2} + 64}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{- 4 x^{2} + 64}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$- 4 x^{2} + 64 = 0$

단계 5.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

방정식의 양변에서 $64$ 를 뺍니다.

$- 4 x^{2} = - 64$

단계 5.3.2

$- 4 x^{2} = - 64$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$- 4 x^{2} = - 64$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 64}{- 4}$

단계 5.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 64}{- 4}$

단계 5.3.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 64}{- 4}$

단계 5.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

$- 64$ 을 $- 4$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 16$

단계 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

단계 5.3.4

$\pm \sqrt{16}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

단계 5.3.4.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 4$

단계 5.3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 4$

단계 5.3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 4$

단계 5.3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 4, - 4$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 4, - 4$

단계 8

$x = 4$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{8 (4) ({(4)}^{2} - 48)}{{({(4)}^{2} + 16)}^{3}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{32 (4^{2} - 48)}{{(4^{2} + 16)}^{3}}$

단계 9.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{32 (4^{2} - 48)}{{(16 + 16)}^{3}}$

단계 9.2.2

$16$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\frac{32 (4^{2} - 48)}{32^{3}}$

단계 9.2.3

$32$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{32 (4^{2} - 48)}{32768}$

단계 9.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{32 (16 - 48)}{32768}$

단계 9.3.2

$16$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$\frac{32 \cdot - 32}{32768}$

단계 9.4

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

$32$ 에 $- 32$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1024}{32768}$

단계 9.4.2

$- 1024$ 및 $32768$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.2.1

$- 1024$ 에서 $1024$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1024 (- 1)}{32768}$

단계 9.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.2.2.1

$32768$ 에서 $1024$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1024 \cdot - 1}{1024 \cdot 32}$

단계 9.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1024 \cdot - 1}{1024 \cdot 32}$

단계 9.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{32}$

단계 9.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{32}$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = 4$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 4$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = 4$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f (4) = \frac{4 (4)}{{(4)}^{2} + 16}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (4) = \frac{16}{4^{2} + 16}$

단계 11.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (4) = \frac{16}{16 + 16}$

단계 11.2.2.2

$16$ 를 $16$ 에 더합니다.

$f (4) = \frac{16}{32}$

단계 11.2.3

$16$ 및 $32$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1

$16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$f (4) = \frac{16 (1)}{32}$

단계 11.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.2.1

$32$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$f (4) = \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 2}$

단계 11.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (4) = \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 2}$

단계 11.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (4) = \frac{1}{2}$

단계 11.2.4

최종 답은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$y = \frac{1}{2}$

단계 12

$x = - 4$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{8 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 48)}{{({(- 4)}^{2} + 16)}^{3}}$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$8$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 32 ({(- 4)}^{2} - 48)}{{({(- 4)}^{2} + 16)}^{3}}$

단계 13.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{- 32 ({(- 4)}^{2} - 48)}{{(16 + 16)}^{3}}$

단계 13.2.2

$16$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\frac{- 32 ({(- 4)}^{2} - 48)}{32^{3}}$

단계 13.2.3

$32$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{- 32 ({(- 4)}^{2} - 48)}{32768}$

단계 13.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{- 32 (16 - 48)}{32768}$

단계 13.3.2

$16$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$\frac{- 32 \cdot - 32}{32768}$

단계 13.4

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

$- 32$ 에 $- 32$ 을 곱합니다.

$\frac{1024}{32768}$

단계 13.4.2

$1024$ 및 $32768$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.2.1

$1024$ 에서 $1024$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1024 (1)}{32768}$

단계 13.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.2.2.1

$32768$ 에서 $1024$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1024 \cdot 1}{1024 \cdot 32}$

단계 13.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1024 \cdot 1}{1024 \cdot 32}$

단계 13.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{32}$

단계 14

이계도함수가 양수이므로 $x = - 4$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 4$ 은 극소값입니다.

단계 15

$x = - 4$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f (- 4) = \frac{4 (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 16}$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f (- 4) = \frac{- 16}{{(- 4)}^{2} + 16}$

단계 15.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 4) = \frac{- 16}{16 + 16}$

단계 15.2.2.2

$16$ 를 $16$ 에 더합니다.

$f (- 4) = \frac{- 16}{32}$

단계 15.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.3.1

$- 16$ 및 $32$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.3.1.1

$- 16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$f (- 4) = \frac{16 (- 1)}{32}$

단계 15.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.3.1.2.1

$32$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$f (- 4) = \frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 2}$

단계 15.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (- 4) = \frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 2}$

단계 15.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- 4) = \frac{- 1}{2}$

단계 15.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- 4) = - \frac{1}{2}$

단계 15.2.4

최종 답은 $- \frac{1}{2}$ 입니다.

$y = - \frac{1}{2}$

단계 16

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 16}$ 에 대한 극값입니다.

$(4, \frac{1}{2})$ 은 극댓값임

$(- 4, - \frac{1}{2})$ 은 극솟값임

단계 17