미적분 예제

$y = x^{- 7} + x^{7}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $x^{- 7} + x^{7}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

단계 1.2

$n = - 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 7 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

단계 1.3

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 7 x^{- 8} + 7 x^{6}$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 7 \frac{1}{x^{8}} + 7 x^{6}$

단계 1.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$- 7$ 와 $\frac{1}{x^{8}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

단계 1.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

단계 1.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x^{6}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 입니다.

$7 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

단계 2.2.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

단계 2.2.3

$6$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$42 x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{7}{x^{8}}$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$ 입니다.

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$

단계 2.3.2

$\frac{1}{x^{8}}$ 을 ${(x^{8})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{8})}^{- 1}]$

단계 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{8}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{8}$ 로 바꿉니다.

$42 x^{5} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{8}])$

단계 2.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$42 x^{5} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

단계 2.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{8}$ 로 바꿉니다.

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

단계 2.3.4

$n = 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} (8 x^{7}))$

단계 2.3.5

${(x^{8})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$42 x^{5} - 7 (- x^{8 \cdot - 2} (8 x^{7}))$

단계 2.3.5.2

$8$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$42 x^{5} - 7 (- x^{- 16} (8 x^{7}))$

단계 2.3.6

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 16} x^{7})$

단계 2.3.7

지수를 더하여 $x^{- 16}$ 에 $x^{7}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$x^{7}$ 를 옮깁니다.

$42 x^{5} - 7 (- 8 (x^{7} x^{- 16}))$

단계 2.3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{7 - 16})$

단계 2.3.7.3

$7$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 9})$

단계 2.3.8

$- 8$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$42 x^{5} + 56 x^{- 9}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$42 x^{5} + 56 \frac{1}{x^{9}}$

단계 2.4.2

$56$ 와 $\frac{1}{x^{9}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$42$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $42 x^{5}$ 의 미분은 $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

단계 3.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

단계 3.2.3

$5$ 에 $42$ 을 곱합니다.

$210 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$56$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{56}{x^{9}}$ 의 미분은 $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$ 입니다.

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$

단계 3.3.2

$\frac{1}{x^{9}}$ 을 ${(x^{9})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [{(x^{9})}^{- 1}]$

단계 3.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{9}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{9}$ 로 바꿉니다.

$210 x^{4} + 56 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 3.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$210 x^{4} + 56 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 3.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{9}$ 로 바꿉니다.

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 3.3.4

$n = 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} (9 x^{8}))$

단계 3.3.5

${(x^{9})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$210 x^{4} + 56 (- x^{9 \cdot - 2} (9 x^{8}))$

단계 3.3.5.2

$9$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$210 x^{4} + 56 (- x^{- 18} (9 x^{8}))$

단계 3.3.6

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 18} x^{8})$

단계 3.3.7

지수를 더하여 $x^{- 18}$ 에 $x^{8}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.7.1

$x^{8}$ 를 옮깁니다.

$210 x^{4} + 56 (- 9 (x^{8} x^{- 18}))$

단계 3.3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{8 - 18})$

단계 3.3.7.3

$8$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 10})$

단계 3.3.8

$- 9$ 에 $56$ 을 곱합니다.

$210 x^{4} - 504 x^{- 10}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$210 x^{4} - 504 \frac{1}{x^{10}}$

단계 3.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$- 504$ 와 $\frac{1}{x^{10}}$ 을 묶습니다.

$210 x^{4} + \frac{- 504}{x^{10}}$

단계 3.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (x) = 210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$210$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $210 x^{4}$ 의 미분은 $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

단계 4.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

단계 4.2.3

$4$ 에 $210$ 을 곱합니다.

$840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 504$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{504}{x^{10}}$ 의 미분은 $- 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$ 입니다.

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$

단계 4.3.2

$\frac{1}{x^{10}}$ 을 ${(x^{10})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [{(x^{10})}^{- 1}]$

단계 4.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{10}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{10}$ 로 바꿉니다.

$840 x^{3} - 504 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{10}])$

단계 4.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$840 x^{3} - 504 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

단계 4.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{10}$ 로 바꿉니다.

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

단계 4.3.4

$n = 10$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} (10 x^{9}))$

단계 4.3.5

${(x^{10})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$840 x^{3} - 504 (- x^{10 \cdot - 2} (10 x^{9}))$

단계 4.3.5.2

$10$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$840 x^{3} - 504 (- x^{- 20} (10 x^{9}))$

단계 4.3.6

$10$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 20} x^{9})$

단계 4.3.7

지수를 더하여 $x^{- 20}$ 에 $x^{9}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$x^{9}$ 를 옮깁니다.

$840 x^{3} - 504 (- 10 (x^{9} x^{- 20}))$

단계 4.3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{9 - 20})$

단계 4.3.7.3

$9$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 11})$

단계 4.3.8

$- 10$ 에 $- 504$ 을 곱합니다.

$840 x^{3} + 5040 x^{- 11}$

단계 4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$840 x^{3} + 5040 \frac{1}{x^{11}}$

단계 4.4.2

$5040$ 와 $\frac{1}{x^{11}}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = 840 x^{3} + \frac{5040}{x^{11}}$