미적분 예제

$4 x - 64 x^{- 3}$

단계 1

$4 x - 64 x^{- 3}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 4 x - 64 x^{- 3}$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x - 64 x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

단계 2.2.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 64$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 64 x^{- 3}$ 의 미분은 $- 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ 입니다.

$4 - 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 2.3.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 - 64 (- 3 x^{- 4})$

단계 2.3.3

$- 3$ 에 $- 64$ 을 곱합니다.

$4 + 192 x^{- 4}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$192 x^{- 4} + 4$

단계 2.4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$192 \frac{1}{x^{4}} + 4$

단계 2.4.2.2

$192$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{192}{x^{4}} + 4$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $\frac{192}{x^{4}} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{192}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$192$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{192}{x^{4}}$ 의 미분은 $192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2.2

$\frac{1}{x^{4}}$ 을 ${(x^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 192 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 192 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2.5

${(x^{4})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 192 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2.5.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 192 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2.7

지수를 더하여 $x^{- 8}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.7.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 192 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2.7.3

$3$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.2.8

$- 4$ 에 $192$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (4)$

단계 3.3

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + 0$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 768 \frac{1}{x^{5}} + 0$

단계 3.4.2

항을 묶습니다.

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단계 3.4.2.1

$- 768$ 와 $\frac{1}{x^{5}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- 768}{x^{5}} + 0$

단계 3.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}} + 0$

단계 3.4.2.3

$- \frac{768}{x^{5}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}}$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{192}{x^{4}} + 4 = 0$

단계 5

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 6

극값 없음

단계 7