미적분 예제

$C (x) = 375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

단계 1.1.2

$375$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $375$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $375$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$0.75$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ 의 미분은 $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ 입니다.

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 1.2.2

$n = \frac{3}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

단계 1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

단계 1.2.4

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

단계 1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

단계 1.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

단계 1.2.6.2

$3$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

단계 1.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

단계 1.2.8

$\frac{3}{4}$ 와 $x^{- \frac{1}{4}}$ 을 묶습니다.

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

단계 1.2.9

$0.75$ 와 $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

단계 1.2.10

$3$ 에 $0.75$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

단계 1.2.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$0$ 를 $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ 에 더합니다.

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

단계 1.3.2

$2.25$ 에서 $2.25$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

단계 1.3.3

$4 x^{\frac{1}{4}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

단계 1.3.4

분수를 나눕니다.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

단계 1.3.5

$2.25$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

단계 1.3.6

$0.5625$ 와 $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$0.5625$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ 의 미분은 $0.5625 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}]$ 입니다.

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})$

단계 2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1})$

단계 2.2.2

${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{4} \cdot - 1})$

단계 2.2.2.2

$\frac{1}{4}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{4}})$

단계 2.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{4}})$

단계 2.3

$n = - \frac{1}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

단계 2.5

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

단계 2.7.2

$- 1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

단계 2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

단계 2.9

$x^{- \frac{5}{4}}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

단계 2.10

$- 1$ 에 $0.5625$ 을 곱합니다.

$C'' (x) = - 0.5625 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

단계 2.11

$- 0.5625$ 와 $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ 을 묶습니다.

$C'' (x) = \frac{- 0.5625 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

단계 2.12

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{5}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$C'' (x) = \frac{- 0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

단계 2.12.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$C'' (x) = - \frac{0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

합의 법칙에 의해 $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

단계 4.1.1.2

$375$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $375$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $375$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$0.75$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ 의 미분은 $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ 입니다.

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

단계 4.1.2.2

$n = \frac{3}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

단계 4.1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

단계 4.1.2.4

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

단계 4.1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

단계 4.1.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.6.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

단계 4.1.2.6.2

$3$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

단계 4.1.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

단계 4.1.2.8

$\frac{3}{4}$ 와 $x^{- \frac{1}{4}}$ 을 묶습니다.

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

단계 4.1.2.9

$0.75$ 와 $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

단계 4.1.2.10

$3$ 에 $0.75$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

단계 4.1.2.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

단계 4.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$0$ 를 $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ 에 더합니다.

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

단계 4.1.3.2

$2.25$ 에서 $2.25$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

단계 4.1.3.3

$4 x^{\frac{1}{4}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

단계 4.1.3.4

분수를 나눕니다.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

단계 4.1.3.5

$2.25$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

단계 4.1.3.6

$0.5625$ 와 $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

단계 4.2

$C (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ 입니다.

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$0.5625 = 0$

단계 5.3

$0.5625 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x^{1}}}$

단계 6.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$

단계 6.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$\sqrt[4]{x} = 0$

단계 6.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 $4$ 승합니다.

${\sqrt[4]{x}}^{4} = 0^{4}$

단계 6.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

단계 6.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

단계 6.3.2.2.1.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

단계 6.3.2.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{1} = 0^{4}$

단계 6.3.2.2.1.2

간단히 합니다.

$x = 0^{4}$

단계 6.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$x = 0$

단계 6.4

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\sqrt[4]{x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 작게 설정해야 합니다.

$x < 0$

단계 6.5

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \frac{0.5625}{4 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$0$ 을 $0^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{0.5625}{4 {(0^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

단계 9.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

단계 9.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

단계 9.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{5}}$

단계 9.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0}$

단계 9.3.2

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{0.5625}{0}$

단계 9.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$- \frac{0.5625}{0}$

단계 9.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 10

1차 도함수 판정에 실패했으므로 극값이 없습니다.

극값 없음

단계 11