미적분 예제

$\frac{1}{2} x^{2} - x$

단계 1

$\frac{1}{2} x^{2} - x$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} x^{2} - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} x^{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.2.3

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.2.4

$\frac{2}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.2.5.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x - \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x - 1 \cdot 1$

단계 2.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x - 1$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 3.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = 1 + 0$

단계 3.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 1$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$x - 1 = 0$

단계 5

1차 도함수를 구합니다.

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단계 5.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} x^{2} - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 5.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} x^{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 5.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 5.1.2.3

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 5.1.2.4

$\frac{2}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 5.1.2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 5.1.2.5.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x - \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x - 1 \cdot 1$

단계 5.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x - 1$

단계 5.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x - 1$ 입니다.

$x - 1$

단계 6

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x - 1 = 0$ 을 풉니다.

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단계 6.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x - 1 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 7

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 7.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 8

계산할 임계점.

$x = 1$

단계 9

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$1$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 1$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2} - (1)$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = \frac{1}{2} \cdot 1 - (1)$

단계 11.2.1.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1}{2} - (1)$

단계 11.2.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1}{2} - 1$

단계 11.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

단계 11.2.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

단계 11.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

단계 11.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.2.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1 - 2}{2}$

단계 11.2.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (1) = \frac{- 1}{2}$

단계 11.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (1) = - \frac{1}{2}$

단계 11.2.7

최종 답은 $- \frac{1}{2}$ 입니다.

$y = - \frac{1}{2}$

단계 12

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x$ 에 대한 극값입니다.

$(1, - \frac{1}{2})$ 은 극솟값임

단계 13