미적분 예제

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

단계 1

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 2.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x^{3}$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $48 x^{2}$ 의 미분은 $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $48$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- 64 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- 64$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 64 x$ 의 미분은 $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

단계 2.4.3

$- 64$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 3.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- 36$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 36 x^{2}$ 의 미분은 $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 3.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 3.3.3

$2$ 에 $- 36$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [96 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$96$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $96 x$ 의 미분은 $96 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 3.4.3

$96$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 3.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.5.1

$- 64$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 64$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 64$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

단계 3.5.2

$12 x^{2} - 72 x + 96$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

단계 5

1차 도함수를 구합니다.

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단계 5.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 5.1.1

미분합니다.

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단계 5.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 5.1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 5.1.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1.2.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x^{3}$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 5.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 5.1.2.3

$3$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1.3.1

$48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $48 x^{2}$ 의 미분은 $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 5.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 5.1.3.3

$2$ 에 $48$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

단계 5.1.4

$\frac{d}{d x} [- 64 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1.4.1

$- 64$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 64 x$ 의 미분은 $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

단계 5.1.4.3

$- 64$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

단계 5.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ 입니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

단계 6

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ 을 풉니다.

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단계 6.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

단계 6.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 6.2.1

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.2.1.1

$4 x^{3}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

단계 6.2.1.2

$- 36 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

단계 6.2.1.3

$96 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

단계 6.2.1.4

$- 64$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

단계 6.2.1.5

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

단계 6.2.1.6

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

단계 6.2.1.7

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

단계 6.2.2

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.2.2.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

단계 6.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

단계 6.2.2.3

$1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 6.2.2.3.1

$1$ 을 다항식에 대입합니다.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

단계 6.2.2.3.2

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

단계 6.2.2.3.3

$1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

단계 6.2.2.3.4

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

단계 6.2.2.3.5

$1$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

단계 6.2.2.3.6

$24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 8 + 24 - 16$

단계 6.2.2.3.7

$- 8$ 를 $24$ 에 더합니다.

$16 - 16$

단계 6.2.2.3.8

$16$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$0$

단계 6.2.2.4

$1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

단계 6.2.2.5

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

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단계 6.2.2.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

단계 6.2.2.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

단계 6.2.2.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 6.2.2.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 6.2.2.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

단계 6.2.2.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

단계 6.2.2.5.7

피제수 $- 8 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

단계 6.2.2.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

단계 6.2.2.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 8 x^{2} + 8 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

단계 6.2.2.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

단계 6.2.2.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

단계 6.2.2.5.12

피제수 $16 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

단계 6.2.2.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

단계 6.2.2.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $16 x - 16$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

단계 6.2.2.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

단계 6.2.2.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 8 x + 16$

단계 6.2.2.6

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

단계 6.2.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

단계 6.2.3.1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

단계 6.2.3.1.3

다항식을 다시 씁니다.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

단계 6.2.3.1.4

$a = x$ 이고 $b = 4$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

단계 6.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

단계 6.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

단계 6.4

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 6.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 6.5

${(x - 4)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

${(x - 4)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 4)}^{2} = 0$

단계 6.5.2

${(x - 4)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 6.5.2.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 6.6

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, 4$

단계 7

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 8

계산할 임계점.

$x = 1, 4$

단계 9

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 {(1)}^{2} - 72 \cdot 1 + 96$

단계 10

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$12 \cdot 1 - 72 \cdot 1 + 96$

단계 10.1.2

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 - 72 \cdot 1 + 96$

단계 10.1.3

$- 72$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 - 72 + 96$

단계 10.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$12$ 에서 $72$ 을 뺍니다.

$- 60 + 96$

단계 10.2.2

$- 60$ 를 $96$ 에 더합니다.

$36$

단계 11

이계도함수가 양수이므로 $x = 1$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 12

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = {(1)}^{4} - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

단계 12.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 1 - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

단계 12.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 1 - 12 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

단계 12.2.1.3

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 1 - 12 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

단계 12.2.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 1 - 12 + 48 \cdot 1 - 64 \cdot 1$

단계 12.2.1.5

$48$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64 \cdot 1$

단계 12.2.1.6

$- 64$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64$

단계 12.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.2.1

$1$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 11 + 48 - 64$

단계 12.2.2.2

$- 11$ 를 $48$ 에 더합니다.

$f (1) = 37 - 64$

단계 12.2.2.3

$37$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 27$

단계 12.2.3

최종 답은 $- 27$ 입니다.

$y = - 27$

단계 13

$x = 4$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 96$

단계 14

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$12 \cdot 16 - 72 \cdot 4 + 96$

단계 14.1.2

$12$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$192 - 72 \cdot 4 + 96$

단계 14.1.3

$- 72$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$192 - 288 + 96$

단계 14.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$192$ 에서 $288$ 을 뺍니다.

$- 96 + 96$

단계 14.2.2

$- 96$ 를 $96$ 에 더합니다.

$0$

단계 15

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

단계 15.2

1차 도함수 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ 의 $(- \infty, 1)$ 구간에서 $0$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

단계 15.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

단계 15.2.2.1.2

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

단계 15.2.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 96 (0) - 64$

단계 15.2.2.1.4

$- 36$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 0 + 96 (0) - 64$

단계 15.2.2.1.5

$96$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 64$

단계 15.2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (0) = 0 + 0 - 64$

단계 15.2.2.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (0) = 0 - 64$

단계 15.2.2.2.3

$0$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$f' (0) = - 64$

단계 15.2.2.3

최종 답은 $- 64$ 입니다.

$- 64$

단계 15.3

1차 도함수 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ 의 $(1, 4)$ 구간에서 $2$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

단계 15.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.2.1.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

단계 15.3.2.1.2

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 32 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

단계 15.3.2.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2) = 32 - 36 \cdot 4 + 96 (2) - 64$

단계 15.3.2.1.4

$- 36$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 32 - 144 + 96 (2) - 64$

단계 15.3.2.1.5

$96$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 32 - 144 + 192 - 64$

단계 15.3.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.2.2.1

$32$ 에서 $144$ 을 뺍니다.

$f' (2) = - 112 + 192 - 64$

단계 15.3.2.2.2

$- 112$ 를 $192$ 에 더합니다.

$f' (2) = 80 - 64$

단계 15.3.2.2.3

$80$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$f' (2) = 16$

단계 15.3.2.3

최종 답은 $16$ 입니다.

$16$

단계 15.4

1차 도함수 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ 의 $(4, \infty)$ 구간에서 $6$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

단계 15.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.2.1.1

$6$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

단계 15.4.2.1.2

$4$ 에 $216$ 을 곱합니다.

$f' (6) = 864 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

단계 15.4.2.1.3

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (6) = 864 - 36 \cdot 36 + 96 (6) - 64$

단계 15.4.2.1.4

$- 36$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$f' (6) = 864 - 1296 + 96 (6) - 64$

단계 15.4.2.1.5

$96$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f' (6) = 864 - 1296 + 576 - 64$

단계 15.4.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.2.2.1

$864$ 에서 $1296$ 을 뺍니다.

$f' (6) = - 432 + 576 - 64$

단계 15.4.2.2.2

$- 432$ 를 $576$ 에 더합니다.

$f' (6) = 144 - 64$

단계 15.4.2.2.3

$144$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$f' (6) = 80$

단계 15.4.2.3

최종 답은 $80$ 입니다.

$80$

단계 15.5

1차 도함수의 부호가 $x = 1$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = 1$ 은 극솟값입니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 15.6

1차 도함수의 부호가 $x = 4$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 15.7

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ 에 대한 극값입니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 16