미적분 예제

$v (t) = 3 t \sqrt{9 - t^{2}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{9 - t^{2}}$ 을(를) ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [3 t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d t} [t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (t) = t$ , $g (t) = {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (t \frac{d}{d t} [{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ , $g (t) = 9 - t^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $9 - t^{2}$ 로 바꿉니다.

$3 (t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $9 - t^{2}$ 로 바꿉니다.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$3 (t (\frac{{(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$3 (t (\frac{1}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 8.4

$\frac{1}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}] + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 9

합의 법칙에 의해 $9 - t^{2}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ 가 됩니다.

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 10

$9$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 11

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ 에 더합니다.

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 12

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t)) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 14

분수를 통분합니다.

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단계 14.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 14.2

$- 2$ 와 $\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{- 2 t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 14.3

$\frac{- 2 t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 15

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 (\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 16

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 (\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 17

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 (\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 18

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 (\frac{- 2 t^{2}}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 19

$- 2 t^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$3 (\frac{2 (- t^{2})}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 20

공약수로 약분합니다.

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단계 20.1

$2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$3 (\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 20.2

공약수로 약분합니다.

$3 (\frac{2 (- t^{2})}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 20.3

수식을 다시 씁니다.

$3 (\frac{- t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 21

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

단계 22

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

단계 23

${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})$

단계 24

공통 분모를 가지는 분수로 ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

단계 25

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 26

지수를 더하여 ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 26.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 26.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 26.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 26.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{1}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 27

${(9 - t^{2})}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$3 \frac{- t^{2} + 9 - t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28

$- t^{2}$ 에서 $t^{2}$ 을 뺍니다.

$3 \frac{- 2 t^{2} + 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 29

$3$ 와 $\frac{- 2 t^{2} + 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (- 2 t^{2} + 9)}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 30

간단히 합니다.

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단계 30.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (- 2 t^{2}) + 3 \cdot 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 30.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 30.2.1

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 t^{2} + 3 \cdot 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 30.2.2

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 t^{2} + 27}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 30.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 6 t^{2} + 27}{{(- t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$