미적분 예제

$s (t) = 2 \arccos (t - 1)$

단계 1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 \arccos (t - 1)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [\arccos (t - 1)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [\arccos (t - 1)]$

단계 2

$f (t) = \arccos (t)$ , $g (t) = t - 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t - 1$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d t} [t - 1])$

단계 2.2

$\arccos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 입니다.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $t - 1$ 로 바꿉니다.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1])$

단계 3.2

분수를 통분합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1]$

단계 3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1]$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $t - 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 가 됩니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

단계 3.5

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} (1 + 0)$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \cdot 1$

단계 3.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}}$