미적분 예제

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{5}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.3

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{3}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.3

$3$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

단계 1.1.4.2

$15 x^{4} - 15 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $15 x^{4} - 15 x^{2}$ 입니다.

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

단계 2.2.2

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$15 u^{2} - 15 u = 0$

단계 2.2.3

$15 u^{2} - 15 u$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$15 u^{2}$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

$15 u (u) - 15 u = 0$

단계 2.2.3.2

$- 15 u$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

단계 2.2.3.3

$15 u (u) + 15 u (- 1)$ 에서 $15 u$ 를 인수분해합니다.

$15 u (u - 1) = 0$

단계 2.2.4

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

단계 2.4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 2.4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 2.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 2.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.5

$x^{2} - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x^{2} - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 1 = 0$

단계 2.5.2

$x^{2} - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x^{2} = 1$

단계 2.5.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 2.5.2.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 2.5.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 2.5.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 2.5.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 2.6

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 1, - 1$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$3 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{3} + 1$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

단계 4.1.2.1.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

단계 4.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 5 \cdot 0 + 1$

단계 4.1.2.1.4

$- 5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 1$

단계 4.1.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 1$

단계 4.1.2.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$3 {(1)}^{5} - 5 {(1)}^{3} + 1$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 \cdot 1 - 5 {(1)}^{3} + 1$

단계 4.2.2.1.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 - 5 {(1)}^{3} + 1$

단계 4.2.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 - 5 \cdot 1 + 1$

단계 4.2.2.1.4

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 - 5 + 1$

단계 4.2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$3$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$- 2 + 1$

단계 4.2.2.2.2

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 1$

단계 4.3

$x = - 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x$ 에 $- 1$ 를 대입합니다.

$3 {(- 1)}^{5} - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

단계 4.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$- 1$ 를 $5$ 승 합니다.

$3 \cdot - 1 - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

단계 4.3.2.1.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

단계 4.3.2.1.3

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 3 - 5 \cdot - 1 + 1$

단계 4.3.2.1.4

$- 5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 + 5 + 1$

단계 4.3.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

$- 3$ 를 $5$ 에 더합니다.

$2 + 1$

단계 4.3.2.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3$

단계 4.4

모든 점을 나열합니다.

$(0, 1), (1, - 1), (- 1, 3)$

단계 5