미적분 예제

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $a x^{2} + b x + c$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x^{2}$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.1.2.3

$a$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [b x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$b$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $b x$ 의 미분은 $b \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.1.3.3

$b$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.1.4

$c$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $c$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $c$ 입니다.

$2 a x + b + 0$

단계 1.1.5

간단히 합니다.

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단계 1.1.5.1

$2 a x + b$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 a x + b$

단계 1.1.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = b + 2 a x$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $b + 2 a x$ 입니다.

$b + 2 a x$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $b + 2 a x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$b + 2 a x = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $b$ 를 뺍니다.

$2 a x = - b$

단계 2.3

$2 a x = - b$ 의 각 항을 $2 a$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$2 a x = - b$ 의 각 항을 $2 a$ 로 나눕니다.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

단계 2.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

단계 2.3.2.2

$a$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

단계 2.3.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- b}{2 a}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{b}{2 a}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $a x^{2} + b x + c$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = - \frac{b}{2 a}$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $- \frac{b}{2 a}$ 를 대입합니다.

$a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 4.1.2.1.1.1

$- \frac{b}{2 a}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$a ({(- 1)}^{2} {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

단계 4.1.2.1.1.2

$\frac{b}{2 a}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{{(2 a)}^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

단계 4.1.2.1.1.3

$2 a$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

단계 4.1.2.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

${(- 1)}^{2} a \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

단계 4.1.2.1.3

$a$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.2.1.3.1

${(- 1)}^{2} a$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

단계 4.1.2.1.3.2

$2^{2} a^{2}$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

단계 4.1.2.1.3.3

공약수로 약분합니다.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

단계 4.1.2.1.3.4

수식을 다시 씁니다.

${(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

단계 4.1.2.1.4

${(- 1)}^{2}$ 와 $\frac{b^{2}}{2^{2} a}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(- 1)}^{2} b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

단계 4.1.2.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.5.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1 b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

단계 4.1.2.1.5.2

$b^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

단계 4.1.2.1.6

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{b^{2}}{4 a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

단계 4.1.2.1.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{b^{2}}{4 a} - b \frac{b}{2 a} + c$

단계 4.1.2.1.8

$- b \frac{b}{2 a}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.2.1.8.1

$\frac{b}{2 a}$ 와 $b$ 을 묶습니다.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b \cdot b}{2 a} + c$

단계 4.1.2.1.8.2

$b$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b}{2 a} + c$

단계 4.1.2.1.8.3

$b$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b^{1}}{2 a} + c$

단계 4.1.2.1.8.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1 + 1}}{2 a} + c$

단계 4.1.2.1.8.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} + c$

단계 4.1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{b^{2}}{2 a}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} \cdot \frac{2}{2} + c$

단계 4.1.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4 a$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1.2.3.1

$\frac{b^{2}}{2 a}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{2 a \cdot 2} + c$

단계 4.1.2.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

단계 4.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{b^{2} - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

단계 4.1.2.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.1.1

$b^{2} - b^{2} \cdot 2$ 에서 $b^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.1.1.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{b^{2} \cdot 1 - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

단계 4.1.2.5.1.1.2

$- b^{2} \cdot 2$ 에서 $b^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

단계 4.1.2.5.1.1.3

$b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)$ 에서 $b^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{b^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

단계 4.1.2.5.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{b^{2} (1 - 2)}{4 a} + c$

단계 4.1.2.5.1.3

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{b^{2} \cdot - 1}{4 a} + c$

단계 4.1.2.5.2

$b^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{- 1 \cdot b^{2}}{4 a} + c$

단계 4.1.2.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{b^{2}}{4 a} + c$

단계 4.2

모든 점을 나열합니다.

$(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2}}{4 a} + c)$

단계 5