미적분 예제

$\ln (5) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x + 3) - 3 \ln (1 + \sqrt{x})$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (x + 3)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (5) + \ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \ln (1 + \sqrt{x})$

단계 1.2

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 3 \ln (1 + \sqrt{x})$ 을 간단히 합니다.

$\ln (5) + \ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(1 + \sqrt{x})}^{3})$

단계 2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(1 + \sqrt{x})}^{3})$

단계 3

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \sqrt{x})}^{3}})$

단계 4

이항정리 이용

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1^{3} + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

단계 5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

단계 5.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \cdot 1 \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

단계 5.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

단계 5.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

단계 5.5

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 5.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

단계 5.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

단계 5.5.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{x}}^{3}})$

단계 5.5.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{x}}^{3}})$

단계 5.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{1} + {\sqrt{x}}^{3}})$

단계 5.5.5

간단히 합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + {\sqrt{x}}^{3}})$

단계 5.6

${\sqrt{x}}^{3}$ 을 $\sqrt{x^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + \sqrt{x^{3}}})$

단계 5.7

$x^{2}$ 로 인수분해합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + \sqrt{x^{2} x}})$

단계 5.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + x \sqrt{x}})$

단계 6

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x \sqrt{x}})$

단계 6.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x \cdot x^{\frac{1}{2}}})$

단계 6.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1

$x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{1} x^{\frac{1}{2}}})$

단계 6.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{1 + \frac{1}{2}}})$

단계 6.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

단계 6.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{\frac{2 + 1}{2}}})$

단계 6.3.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{\frac{3}{2}}})$

단계 6.4

항을 다시 정렬합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

단계 6.5

인수분해된 형태로 $3 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 1$ 를 다시 씁니다.

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단계 6.5.1

$3 x + 3 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.5.1.1

$3 x$ 에서 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

단계 6.5.1.2

$3 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{1}{2}} (1) + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

단계 6.5.1.3

$3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{1}{2}} (1)$ 에서 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

단계 6.5.2

$x^{\frac{3}{2}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} + 1})$

단계 6.5.3

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} + 1^{3}})$

단계 6.5.4

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{\frac{1}{2}}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

단계 6.5.5

간단히 합니다.

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단계 6.5.5.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.5.5.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

단계 6.5.5.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.5.5.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

단계 6.5.5.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{1} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

단계 6.5.5.2

간단히 합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

단계 6.5.5.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1^{2})})$

단계 6.5.5.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

단계 6.5.6

$3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)$ 에서 $x^{\frac{1}{2}} + 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.6.1

$3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ 에서 $x^{\frac{1}{2}} + 1$ 를 인수분해합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

단계 6.5.6.2

$(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)$ 에서 $x^{\frac{1}{2}} + 1$ 를 인수분해합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + x - x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

단계 6.5.7

$3 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 뺍니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

단계 6.5.8

$x$ 을 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

단계 6.5.9

$u = x^{\frac{1}{2}}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (u^{2} + 2 u + 1)})$

단계 6.5.10

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 6.5.10.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (u^{2} + 2 u + 1^{2})})$

단계 6.5.10.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

단계 6.5.10.3

다항식을 다시 씁니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})})$

단계 6.5.10.4

$a = u$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) {(u + 1)}^{2}})$

단계 6.5.11

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}})$

단계 7

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}} + 1$ 에 ${(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x^{\frac{1}{2}} + 1$ 에 ${(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.1

$x^{\frac{1}{2}} + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}})$

단계 7.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{1 + 2}})$

단계 7.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}})$