미적분 예제

$y^{2} = \frac{1}{1 - x^{2}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 - x^{2}})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 y y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{1 - x^{2}}$ 을 ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 1 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

단계 3.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $1 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 3.3.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 3.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 3.3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3.5

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3.5.2

${(1 - x^{2})}^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

단계 3.3.7

${(1 - x^{2})}^{- 2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

단계 3.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

$2$ 와 $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

단계 3.5.1.2

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ 의 각 항을 $2 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ 의 각 항을 $2 y$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

단계 5.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

단계 5.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

단계 5.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

단계 5.3.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

조합합니다.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

단계 5.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

단계 5.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (y)}$

단계 5.3.2.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2} y}$

단계 5.3.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2} y}$

단계 5.3.3.2

$- x^{2}$ 와 $1^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y' = \frac{x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2} y}$

단계 5.3.3.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$y' = \frac{x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2} y}$

단계 5.3.3.4

$(1 + x) (1 - x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y' = \frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$

단계 5.3.4

$\frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$