미적분 예제

$x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}} = 9$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}}) = \frac{d}{d x} (9)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$n = \frac{6}{7}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

단계 2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

단계 2.2.3

$- 1$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

단계 2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

단계 2.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

단계 2.2.5.2

$6$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$\frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

단계 2.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$f (x) = x^{\frac{8}{5}}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{8}{5}}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.1.2

$n = \frac{8}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} u^{\frac{8}{5} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1} y'$

단계 2.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} y'$

단계 2.3.4

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} y'$

단계 2.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8 - 1 \cdot 5}{5}} y'$

단계 2.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8 - 5}{5}} y'$

단계 2.3.6.2

$8$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{3}{5}} y'$

단계 2.3.7

$\frac{8}{5}$ 와 $y^{\frac{3}{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}}}{5} y'$

단계 2.3.8

$\frac{8 y^{\frac{3}{5}}}{5}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

단계 2.4.2

$\frac{6}{7}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

단계 3

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5} = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ 를 뺍니다.

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = - \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

단계 5.3

방정식의 양변에 $\frac{5}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{8} \cdot \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

단계 5.4

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

$\frac{5}{8} \cdot \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1.1

조합합니다.

$\frac{5 (8 y' y^{\frac{3}{5}})}{8 \cdot 5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

단계 5.4.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 (8 y' y^{\frac{3}{5}})}{8 \cdot 5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

단계 5.4.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{8} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

단계 5.4.1.1.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{8} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

단계 5.4.1.1.5

$y' y^{\frac{3}{5}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

단계 5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$\frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1.1

$- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{8} \cdot \frac{- 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

단계 5.4.2.1.1.2

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 (4)} \cdot \frac{- 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

단계 5.4.2.1.1.3

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

단계 5.4.2.1.1.4

공약수로 약분합니다.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

단계 5.4.2.1.1.5

수식을 다시 씁니다.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{- 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

단계 5.4.2.1.2

$\frac{5}{4}$ 에 $\frac{- 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ 을 곱합니다.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5 \cdot - 3}{4 (7 x^{\frac{1}{7}})}$

단계 5.4.2.1.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.3.1

$5$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{- 15}{4 (7 x^{\frac{1}{7}})}$

단계 5.4.2.1.3.2

$7$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{- 15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$

단계 5.4.2.1.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$

단계 5.5

$y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ 의 각 항을 $y^{\frac{3}{5}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ 의 각 항을 $y^{\frac{3}{5}}$ 로 나눕니다.

$\frac{y' y^{\frac{3}{5}}}{y^{\frac{3}{5}}} = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

단계 5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' y^{\frac{3}{5}}}{y^{\frac{3}{5}}} = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

단계 5.5.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

단계 5.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y' = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{3}{5}}}$

단계 5.5.3.2

$\frac{1}{y^{\frac{3}{5}}}$ 에 $\frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{15}{y^{\frac{3}{5}} (28 x^{\frac{1}{7}})}$

단계 5.5.3.3

$y^{\frac{3}{5}}$ 의 왼쪽으로 $28$ 이동하기

$y' = - \frac{15}{28 y^{\frac{3}{5}} x^{\frac{1}{7}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15}{28 y^{\frac{3}{5}} x^{\frac{1}{7}}}$