미적분 예제

$15 (\ln (x) - \ln (x + 5)) - \frac{4}{15} \cdot (\ln (x) - \ln (x + 5))$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$15 \ln (\frac{x}{x + 5}) - \frac{4}{15} \cdot (\ln (x) - \ln (x + 5))$

단계 1.2

$15$ 를 로그 안으로 옮겨 $15 \ln (\frac{x}{x + 5})$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({(\frac{x}{x + 5})}^{15}) - \frac{4}{15} \cdot (\ln (x) - \ln (x + 5))$

단계 1.3

$\frac{x}{x + 5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}) - \frac{4}{15} \cdot (\ln (x) - \ln (x + 5))$

단계 1.4

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}) - \frac{4}{15} \cdot \ln (\frac{x}{x + 5})$

단계 1.5

$- \frac{4}{15} \ln (\frac{x}{x + 5})$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.1

$\ln (\frac{x}{x + 5})$ 와 $\frac{4}{15}$ 을 다시 정렬합니다.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}) - (\frac{4}{15} \ln (\frac{x}{x + 5}))$

단계 1.5.2

$\frac{4}{15}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{4}{15} \ln (\frac{x}{x + 5})$ 을 간단히 합니다.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}) - \ln ({(\frac{x}{x + 5})}^{\frac{4}{15}})$

단계 1.6

$\frac{x}{x + 5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}) - \ln (\frac{x^{\frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{4}{15}}})$

단계 2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}}{\frac{x^{\frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{4}{15}}}})$

단계 3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{4}{15}}}{x^{\frac{4}{15}}})$

단계 4

조합합니다.

$\ln (\frac{x^{15} {(x + 5)}^{\frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{15} x^{\frac{4}{15}}})$

단계 5

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 ${(x + 5)}^{\frac{4}{15}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15} x^{\frac{4}{15}} {(x + 5)}^{- \frac{4}{15}}})$

단계 6

지수를 더하여 ${(x + 5)}^{15}$ 에 ${(x + 5)}^{- \frac{4}{15}}$ 을 곱합니다.

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단계 6.1

${(x + 5)}^{- \frac{4}{15}}$ 를 옮깁니다.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{- \frac{4}{15}} {(x + 5)}^{15} x^{\frac{4}{15}}})$

단계 6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{- \frac{4}{15} + 15} x^{\frac{4}{15}}})$

단계 6.3

공통 분모를 가지는 분수로 $15$ 을 표현하기 위해 $\frac{15}{15}$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{- \frac{4}{15} + 15 \cdot \frac{15}{15}} x^{\frac{4}{15}}})$

단계 6.4

$15$ 와 $\frac{15}{15}$ 을 묶습니다.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{- \frac{4}{15} + \frac{15 \cdot 15}{15}} x^{\frac{4}{15}}})$

단계 6.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{\frac{- 4 + 15 \cdot 15}{15}} x^{\frac{4}{15}}})$

단계 6.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.6.1

$15$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{\frac{- 4 + 225}{15}} x^{\frac{4}{15}}})$

단계 6.6.2

$- 4$ 를 $225$ 에 더합니다.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}} x^{\frac{4}{15}}})$

단계 7

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{4}{15}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\ln (\frac{x^{15} x^{- \frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

단계 8

지수를 더하여 $x^{15}$ 에 $x^{- \frac{4}{15}}$ 을 곱합니다.

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단계 8.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\ln (\frac{x^{15 - \frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

단계 8.2

공통 분모를 가지는 분수로 $15$ 을 표현하기 위해 $\frac{15}{15}$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{x^{15 \cdot \frac{15}{15} - \frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

단계 8.3

$15$ 와 $\frac{15}{15}$ 을 묶습니다.

$\ln (\frac{x^{\frac{15 \cdot 15}{15} - \frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

단계 8.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\ln (\frac{x^{\frac{15 \cdot 15 - 4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

단계 8.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.5.1

$15$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{x^{\frac{225 - 4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

단계 8.5.2

$225$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\ln (\frac{x^{\frac{221}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$