미적분 예제

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \csc^{2} (\frac{1}{3} x)$

단계 1

함수 $f (x)$ 는 도함수 $f' (x)$ 의 부정적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$f (x) = \int f' (x) d x$

단계 2

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (\frac{1}{3} x) d x$

단계 3

먼저 $u = \frac{1}{3} x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{3} d x$ 이므로 $3 d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = \frac{1}{3} x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$\frac{1}{3} x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$

단계 3.1.2

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{3} x$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

단계 3.1.4

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3}$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{3}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

단계 4.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

단계 4.3

$\csc^{2} (u)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{1}{3} \int 3 \csc^{2} (u) d u$

단계 5

$3$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

단계 6.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

단계 6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 \int \csc^{2} (u) d u$

단계 6.3

$\int \csc^{2} (u) d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \csc^{2} (u) d u$

단계 7

$- \cot (u)$ 의 도함수는 $\csc^{2} (u)$ 이므로, $\csc^{2} (u)$ 의 적분값은 $- \cot (u)$ 이 됩니다.

$- \cot (u) + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $\frac{1}{3} x$ 로 바꿉니다.

$- \cot (\frac{1}{3} x) + C$

단계 9

$f$ 가 함수의 도함수 적분에서 구한 함수인 경우, 미적분학의 기본 정리에 따라 유효합니다.

$f (x) = - \cot (\frac{1}{3} x) + C$