미적분 예제

$\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

단계 1

$\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x^{5} - x^{3} + 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x \cdot x^{4} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

단계 4.1.2

$- x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + 2 x}{x^{4}} d x$

단계 4.1.3

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

단계 4.1.4

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

단계 4.1.5

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x^{4}} d x$

단계 4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

단계 4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{x^{4} - x^{2} + 2}{x^{3}} d x$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) {(x^{3})}^{- 1} d x$

단계 5.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{3 \cdot - 1} d x$

단계 5.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3} d x$

단계 6

$(x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (x^{4} - x^{2}) x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x^{4} x^{- 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

단계 6.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{4 - 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

단계 6.4

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\int x^{1} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

단계 6.5

간단히 합니다.

$\int x - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

단계 6.6

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int x - (x^{2} x^{- 3}) + 2 x^{- 3} d x$

단계 6.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x - x^{2 - 3} + 2 x^{- 3} d x$

단계 6.8

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\int x - x^{- 1} + 2 x^{- 3} d x$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x d x + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

단계 9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

단계 10

$x^{- 1}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + \int 2 x^{- 3} d x$

단계 11

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int x^{- 3} d x$

단계 12

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$x^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

단계 13.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

단계 13.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

단계 13.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

단계 13.3.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 2}{2 x^{2}} + C$

단계 13.3.3

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.3.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

단계 13.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.3.2.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2})} + C$

단계 13.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

단계 13.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 1}{x^{2}} + C$

단계 13.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$

단계 14

답은 함수 $f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$